高三数学竞赛试卷（2019年下学期）免费检测试卷

1. 填空题	详细信息
甲、乙两人轮流射击打靶，甲先开始.设两人的命中率、.已知两人第一次射中靶的概率相同，且一旦甲打中靶子就停止射击.则实数、需要满足的等式是______.

2. 填空题	详细信息
设实常数使得方程在平面坐标系中表示两条相交直线，交点为.若点、分别在这两条直线上，且，则=______.

3. 填空题	详细信息
在四面体中，已知平行于、的平面截棱所成的距离之比为.则该平面截四面体所成的两部分的体积之比为______.

4. 填空题	详细信息
已知、，且.则函数的最大值为______.

5. 填空题	详细信息
在空间四边形中，，，、分别是、上的点，使得.则=______（用、表示）.

6. 填空题	详细信息
设.则除以1000的余数为______.

7. 填空题	详细信息
已知、、.则的最小值为______（“”表示轮换对称和）.

8. 填空题	详细信息
若将正九边形的五个顶点染上红色，则至少存在______对全等三角形（每对三角形顶点集不同）满足其顶点都是红色.

9. 解答题	详细信息
给定正整数，非负整数满足对均有，其中，表示中大于0的数的个数（规定）.试求的最大值.

10. 解答题	详细信息
如图，椭圆的内切圆的一条切线与椭圆交于点、，且切线与圆的切点在轴右侧，为椭圆的右焦点.求的周长.

11. 解答题	详细信息
平面上有奇数条线段，甲乙两人做如下游戏：两人轮流（甲先乙后）给任一条尚未设定方向的线段设定一个方向，直至某次（甲）设定后，所有线段各有了一个方向为止.如果最后得到的所有向量之和的模长不小于原来每条线段长，则甲获胜，否则乙获胜.问：谁有必胜策略？证明你的结论.

12. 解答题	详细信息
如图，已知圆是的外接圆，为延长线上一点，圆与切于点，与、分别切于点、，的延长线与圆交于点，的延长线与的延长线交于点.证明： （1）、、、四点共圆； （2）.

13. 解答题	详细信息
求最大的正实数，使得对一切正整数及正实数均有.

14. 解答题	详细信息
设、为正整数，表示的所有正约数的次方之和.证明：对于任意，存在无穷多个正整数，使得.

15. 解答题	详细信息
一只苍蝇和只蜘蛛被放置在方格表的一些交点处.一次操作包括以下步骤：首先，苍蝇移动到相邻的交点处或者原地不动，然后，每只蜘蛛移动到相邻交点处或者原地不动（同一交点可以同时停留多只蜘蛛）.假设每只蜘蛛和苍蝇总是知道其他蜘蛛和苍蝇的位置. （1）找出最小的正整数，使得在有限次操作内，蜘蛛能够抓住苍蝇，且与其初始位置无关； （2）在的空间三维方格中，（1）中的结论又是怎样？ （注）题中相邻是指一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同，且差值为1；题中抓住是指蜘蛛和苍蝇位于同一交点.