数学奥林匹克高中训练题,166

1. 填空题	详细信息
已知，求函数的最大值________________

2. 填空题	详细信息
棱长为1的正方体被过体对角线的平面所截.则此截面面积的最小值是______.

3. 填空题	详细信息
已知等差数列前项的和为2013,公差为2,首项为整数.则所有可能的值的和为______.

4. 填空题	详细信息
设,且,为关于的不等式的解集.已知.当取最大可能值时, ______.

5. 填空题	详细信息
定义域为的函数，若,则关于的方程的不同实根共有______个.

6. 填空题	详细信息
设点、.动点到点比到轴距离大1,其轨迹为曲线,且线段与曲线存在公共点.则的取值范围是______.

7. 填空题	详细信息
已知为边上的一点, 为内一点,且满足,.则 ______.

8. 填空题	详细信息
在由201320132013块单位正方体组成的大正方体中,若作直线使其穿过2013个单位正方体的中心,则这样的直线可以作______条.

9. 解答题	详细信息
已知的三个内角满足,，求的值.

10. 解答题	详细信息
已知数列满足，其中,是给定的实数,是正整数.试求使得的值最小的值.

11. 解答题	详细信息
已知椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为为椭圆上任意一点,的最大值为3,最小值为2.若直线与椭圆交于两点(不是左、右顶点),且以为直径的圆过点，证明：直线过定点,并求出该定点的坐标.

12. 解答题	详细信息
设外接圆上三段弧的中点依次为,其关于的对称点依次为.若顶点与对应旁切圆切点的连线交于一点 (界心),为的垂心，证明：在以为直径的圆上.

13. 解答题	详细信息
求所有正整数对.其中,,且,使得.

14. 解答题	详细信息
设.证明：存在,使得同余方程至少有个根.

15. 解答题	详细信息
已知为实数,且,对的子集,定义.其中,规定，问：从个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?