数学奥林匹克高中训练题,114
| 1. | 详细信息 |
设 为 所在平面内一动点.则使得 取得最小值的点是的（ ）.A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 |
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| 2. | 详细信息 |
如图，在矩形 中， ， ， 为矩形的中心， 平面， ，且在边 上存在唯一的点 ，使得 .若平面 与平面所成的角为 ，则 为（ ）. A.  B.  C.  D.  |
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| 3. | 详细信息 |
已知实数 、 、 满足 .则 、 、 这三个数中，大于1的数最多有（ ）个.A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 |
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| 4. | 详细信息 |
如图，已知椭圆  ,直线 与椭圆切于点 ，且与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于点 、 .若 ，则 为（ ）. A.  B.  C.  D.  |
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| 5. | 详细信息 |
已知函数  满足：（1）对任意  、 ， ，都有 ；（2）对任意  ，都有 .则 的值是（ ）.A. 17 B. 21 C. 25 D. 29 |
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| 6. | 详细信息 |
已知集合  ， 表示和 中所有不同值的个数.则的最小值是（ ）.A. 2008 B. 2013 C. 4013 D. 4016 |
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| 7. | 详细信息 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
如表，某资料室在计算机使用中，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.表1中，编码100共出现了________次.
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| 8. | 详细信息 |
已知 可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式 对于 恒成立，则实数a的取值范围是________. |
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| 9. | 详细信息 |
如图，在直角坐标系 中， 是半圆 ： 的直径， 是半圆上任意一点，延长 到点 ，使 .当点从 运动到 时，动点的轨迹的长度是________. |
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| 10. | 详细信息 |
设 、 、 .则 的最大值是________. |
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| 11. | 详细信息 |
如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是线段 上一动点.则 的最小值是________. |
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| 12. | 详细信息 |
一个正整数 ，若不含大于1的完全平方数因子，则称为“单纯数”.那么，在 这1000个数中，单纯数共有________个. |
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| 13. | 详细信息 |
已知数列 满足 ， .求证：（1）  ；（2）  . |
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| 14. | 详细信息 |
如图，在直角坐标平面 中，凸四边形 的四个顶点都在双曲线 上，其中，点 、 在第一象限，点 、 在第三象限，对角线 经过原点 .求证： . |
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| 15. | 详细信息 |
一个函数 ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 、 、 都在的定义域内，就有 、 、 也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.（1）若  是定义在 上的周期函数，且值域为 ，证明：不是保三角形函数；（2）若  是保三角形函数，求 的最大值. |
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| 16. | 详细信息 |
如图，在凸四边形 中， 为边 的中点，且 .分别过点 、 作边 、 的垂线，设两条垂线的交点为 .过点有作 于 .求证： . |
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| 17. | 详细信息 |
设 、 、 ， .证明： . |
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| 18. | 详细信息 |
将 这 个自然数随机地排列在 的正方形方格内，对于同一行或同一列中的任意两个数，计算较大数与较小数的商，得到 个分数.把最小的分数称之为这种排列的“特征值”.试求特征值的最大值. |
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