全国2018年高三数学前半期竞赛试卷网上在线做题

1. 填空题	详细信息
已知实数、满足． 则的最大值为______．

2. 填空题	详细信息
设是关于的方程的根均为整数时的取值集合．则______．

3. 填空题	详细信息
在三棱锥中，，，点到中点的距离为，侧面、侧面、侧面与底面所成二面角的大小均为．则三棱锥的体积大小为______．

4. 填空题	详细信息
已知数列满足，，其中，，是前项的和．则的最大值为______．

5. 填空题	详细信息
若双曲线 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围为______．

6. 填空题	详细信息
从集合中任意选取两个不同的数、，使得（为某正整数）的概率为．则的最小值为______．

7. 填空题	详细信息
已知实数、、满足，．则的最大值为______．

8. 填空题	详细信息
在锐角中，、、的对边长依次为、、．若，则的取值范围为______．

9. 解答题	详细信息
设函数的图像与函数的图像交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别与图像、交于点、． 证明：图像在点处的切线与图像在点处的切线不平行．

10. 解答题	详细信息
已知．数列满足，且， （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切正整数均有．

11. 解答题	详细信息
设抛物线过点，其准线为，焦点为．对于抛物线的准线上的任意一点，经过焦点的抛物线的任意弦，记、、分别为、、的斜率．问：是否有、、成等差数列？请说明理由．

12. 解答题	详细信息
如图，设、、是的三条高，且交于点，是边的中点，的外接圆圆与的外接圆圆交于、两点，直线与圆、分别交于另一点、．证明：平分．

13. 解答题	详细信息
记是所有质数从小到大排成的序列，令．证明：对任意的正整数，闭区间上至少有个完全平方数．

14. 解答题	详细信息
设是给定的大于1的正整数．对任意，当时，试求的最大值．

15. 解答题	详细信息
将平面上每个点染为种颜色之一，同时满足： （1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上； （2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色． 求的最小值，使得存在互不同色的四个点共圆．