3.5 探索与表达规律知识点题库

观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n（n是正整数）的结果为

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

观察下列一组图形，其中图1中共有6个小黑点，图2中共有16个小黑点，图3中共有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（　　）

A . 46 B . 51 C . 61 D . 76

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第6行的最后一个数是，第n行的最后一个数是；

（2）若用（a，b）表示一个数在数表中的位置，如9的位置是（4，3），则168的位置是．

观察下列算式：1²= $\text{[math]}$ ， 1²+2²= $\text{[math]}$ ， 1²+2²+3²= $\text{[math]}$ ， 1²+2²+3²+4²= $\text{[math]}$ ， …，请用字母表示数，将你发现的一般规律用一个等式表示出来

观察下列各式：

1³=1²

1³+2³=3²

1³+2³+3³=6²

1³+2³+3³+4³=10²

…

猜想1³+2³+3³+…+10³=．

百子回归图是由1，2，3，…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，两条对角线10个数之和均为有理数n，则4（n﹣1）的值为．

观察下列关于自然数的等式：

a₁：3²-1²=8×1；

a₂：5²-3²=8×2；

a₃：7²-5²=8×3

根据上述规律解决下列问题：

（1）写出第a₄个等式：；
（2）写出你猜想的第a_n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
（3）对于正整数k，若a_k ， a_k+1 ， a_k+2为△ABC的三边，求k的取值范围．

如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出输出的结果为12，…则第2014次输出的结果为．

观察下列图形：

请用你发现的规律直接写出图④中的数y：；图⑤中的数x：．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OA₁B₁C₁ ， A₁ A₂B₂C₂ ， A₂A₃B₃C₃ ， …都是菱形，点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …都在x轴上，点C₁ ， C₂ ， C₃ ， …都在直线 $\text{[math]}$ 上，且∠C₁OA₁ =∠C₂A₁ A₂=∠C₃A₂A₃=…=60°，OA₁=1，则点C₆的坐标是．

在数轴上,点P表示的数是a,点P₁表示的数是 $\text{[math]}$ ,我们称“点P₁是点P的相关点”,已知数轴上A₁的相关点为A₂,点A₂的相关点为A₃,点A₃的相关点为A₄,这样依次得到点A₁、A₂、A₃,A₄,…,A_n若点A₁在数轴表示的数是 $\text{[math]}$ ,则点A₂₁₀₉在数轴上表示的数是.

裂项相消法即 $\text{[math]}$

计算： $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋…＋ $\text{[math]}$ .

阅读材料：小学时，我们学习过假分数和带分数的互化.我们可以将一个假分数化为带分数，如：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

初二（1）班学生小杨同学根据学习分数的方法，在学习分式这一章时，对分式进行了探究：

$\text{[math]}$

根据探究过程，小杨同学说，我可以根据这一探究过程可以分析分式整数解的问题，同学们，你们能吗？

请你帮小杨同学解答下列问题：

（1）当 $\text{[math]}$ 为整数时，若 $\text{[math]}$ 也为整数，求满足条件的所有 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当 $\text{[math]}$ 为整数时，若 $\text{[math]}$ 也为整数,求满足条件的所有 $\text{[math]}$ 的绝对值之和.

如图，按大拇指，食指，中指，无名指，小指，无名指，中指，…的顺序从1开始数数，当数到2020时，对应的手指是（）

图片_x0020_100004

A . 食指 B . 中指 C . 无名指 D . 小指

如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A₁ ，第2次从点A₁向右移动6个单位长度至点A₂ ，第3次从点A₂向左移动9个单位长度至点A₃ ， …，按照这种移动方式进行下去，点A₂₀₁₉表示的数，是.

如图，设 A 是由n ´ n 个有理数组成的n 行n 列的数表，其中aij （i ， j = 1 ，2，3，， n）表示位于第i 行第 j 列的数，且aij 取值为 1 或-1 ．对于数表 A 给出如下定义：记 xi 为数表 A 的第i 行各数之积，yj 为数表 A 的第 j 列各数之积．令 S = （x1 + x2 +¼+ xn ） + （ y1 + y2 +¼+ yn ），将S 称为数表 A 的“积和”．

a11	a12	．．．	a1n
a21	a22	．．．	a2n
．．．	．．．	．．．	．．．
an1	an2	．．．	ann

（1）当n = 4 时，对如下数表 A ，求该数表的“积和” S 的值；

1

1

-1

-1

1

-1

1

1

1

-1

-1

1

-1

-1

1

1
（2）是否存在一个3´ 3 的数表 A ，使得该数表的“积和” S = 0 ？并说明理由；
（3）当n = 10 时，直接写出数表 A 的“积和” S 的所有可能的取值．

将一组数 $\text{[math]}$ ，按照如图的方式进行排列：若 $\text{[math]}$ 的位置记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置记为 $\text{[math]}$ ，则这组数中最大的有理数9的位置记为（）

图片_x0020_100015

A . （5，2） B . （5，3） C . （6，2） D . （6，5）

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若进行以下操作，在边 $\text{[math]}$ 上从左到右依次取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ …，则 $\text{[math]}$ ．

【问题提出】计算 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是正整数）

【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中，

第1行圆圈中的数为1，即 $\text{[math]}$ ；

第2行两个圆圈中数的和为2+2=2×2，

即 $\text{[math]}$ ；

第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=3×3

即 $\text{[math]}$ ；

……；

第 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 个圆圈中数的和为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ .所有圆圈中数的和为 $\text{[math]}$ .

要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：

探究一：计算 $\text{[math]}$ .

将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）.则图2中所有数字之和为 $\text{[math]}$ ，所以得到等式 $\text{[math]}$ .

（1）探究二：计算 $\text{[math]}$
仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是（如图9），而图9共有个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为.那么图6中所有数字之和为，所以得到等式 $\text{[math]}$ .（仿照上述方法，写出探究得出的式子）.
（2）探究三：计算 $\text{[math]}$ .（仿照上述方法，直接写出结果）.
（3）【问题解决】 $\text{[math]}$ .（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）
（4）【拓广应用】
计算： $\text{[math]}$ .（直接写出结果）

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 $\text{[math]}$ 展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 $\text{[math]}$ 展开式中的系数；……请根据规律直接写出 $\text{[math]}$ 的展开式.

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