13.4 尺规作图知识点题库

如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．

（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.

如图为一段圆弧形弯道，弯道长12π米，圆弧所对的圆心角是81°．

（1）用直尺和圆规作出圆弧所在的圆心O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求这段圆弧的半径R．

在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于 $\text{[math]}$ AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=6，BC=4，则△ADE的周长为．

如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）

A . a=b B . 2a﹣b=1 C . 2a+b=﹣1 D . 2a+b=1

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD=4，AC=4 $\text{[math]}$ ，求垂线段OE的长．

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

（1）如图，损矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则该损矩形的直径是线段．
（2）探究：在上述损矩形 $\text{[math]}$ 内，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 四个点都在以 $\text{[math]}$ 为圆心的同一圆上，若存在，请指出点 $\text{[math]}$ 的具体位置；若不存在，请说明理由.
（3）实践：已知如图三条线段 $\text{[math]}$ ，求作相邻三边长顺次为 $\text{[math]}$ 的损矩形 $\text{[math]}$ （尺规作图，保留作图痕迹）．

如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°

（1）作边AB的垂直平分线MN，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连结BD，求∠DBC的度数．

如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.

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（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD=°.

如图，在 $\text{[math]}$ 的方格中， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为格点），各画出一条即可.

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尺规作图之旅

下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．

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尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．

（1）（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．
①过一点作一条直线．(   )

②过两点作一条直线．(   )

③画一条长为3㎝的线段．(   )

④以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(   )
（2）（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB ．

求作： $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$

作法：

①如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ， OB于点C ， D；

②画一条射线 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，OC长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

③以点 $\text{[math]}$ 为圆心，；
（3）过点 $\text{[math]}$ 画射线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

说理：由作法得已知： $\text{[math]}$

求证： $\text{[math]}$

证明： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ()

所以 $\text{[math]}$ ()
（4）（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线 $\text{[math]}$ 与直线外一点A ．

求作：过点A的直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
（5）（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．

如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图。

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（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；
（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的72⁰的角.

下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．

已知：如图，钝角∠AOB．

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求作：∠AOB的角平分线．

作法：

①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；

②分别以D、E为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；

③作射线OC．

所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．

（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE

由②可得：

由③可知：OC＝OC

∴≌（依据：）

∴可得∠COD=∠COE（全等三角形对应角相等）

即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．

为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m、n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到区域S内的两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置并标出点P（不写作法但保留作图痕迹）.

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在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

②以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 两点不重合），连接 $\text{[math]}$ .
（2）直接写出引理的结论：线段 $\text{[math]}$ 的数量关系.

如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B.

（1）利用尺规作∠NAB的平分线与PQ交于点C；
（2）若∠ABP=70°，求∠ACB的度数.

已知弧 $\text{[math]}$

（1）用直尺和圆规作 $\text{[math]}$ 所在圆的圆心 $\text{[math]}$ ，并补全这个圆．（保留画图痕迹，不写画法）
（2）若弧 $\text{[math]}$ 的长是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长．

已知：如图，A为 $\text{[math]}$ 上的一点．

求作：过点A且与 $\text{[math]}$ 相切的一条直线．

作法：①连接OA；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与 $\text{[math]}$ 的一个交点为B，作射线OB；

③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；

④作直线PA．

直线PA即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知 $\text{[math]}$ ．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴ $\text{[math]}$ （）（填推理的依据）．
∵OA是 $\text{[math]}$ 的半径，
∴直线PA与 $\text{[math]}$ 相切（）（填推理的依据）．

（1）学习了平行线后，王玲同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如下：
①请你仿照以上过程，在下图中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，无需写画法．
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 ▲ 线．
（2）已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
求证：BE∥CF．
要求：请你阅读小宁同学如下的证明过程，圈出他证明中的不符合题意，并在右侧的空白处进行改正，若有跳步，请在下面方框内补充完整并将其标记到证明过程中的相应位置，可如下所示使用修改替换符号：“”
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC=∠BCD（同位角相等，两直线平行）．两直线平行，内错角相等．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义）．
∴BE∥CF（两直线平行，内错角相等）