3. 相似三角形的性质知识点题库

如图，将Rt△ACD与Rt△CAB直角边AC重合，∠DAC＝∠ACB＝90°，若AC＝AD，∠B＝30°，则△AED与△CEB的面积比为.

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如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝AC，AB＝6，BC＝8.点P以每秒5个单位长度由点A沿线段AC运动；同时，线段EF以相同的速度由CD出发沿DA方向平移，与AC交于点Q，连结PE，PF.当点F与点B重合时，停止所有运动，设P运动时间为t秒.

（1）求证：△APE≌△CFP.
（2）当t＜1时，若△PEF为直角三角形，求t的值.
（3）作△PEF的外接圆⊙O.
①当⊙O只经过线段AC的一个端点时，求t的值.

②作点P关于EF的对称点P′，当P′落在CD上时，请直接写出线段CP′的长.

只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）

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（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，其中四边形AEBF是平行四边形，请你在图中画出∠AOB的平分线.
（2）如图2，已知E是菱形ABCD中AB边上的中点，请你在图中画出一个矩形EFGH，使得其面积等于菱形ABCD的一半.

如图，抛物线y＝ax²+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C （4，0）两点，与y轴交于点B ．

（1）求这条抛物线的顶点坐标；
（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和过点C的切线互相垂直，垂足为E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点P，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
（2）探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

如图，矩形 ABCD 中，点 G 是 AD 的中点，GE⊥CG 交 AB 于 E，BE＝BC，连接 CE 交 BG 于 F，则∠BFC 等于.

已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是(填序号)．

① $\text{[math]}$ ；②S_{四边形OEBF}：S_{正方形ABCD}=1：2；③ $\text{[math]}$ ；④OG•BD=AE²+CF²；⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时， $\text{[math]}$ ．

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如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等于（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝ 4 ，AB＝9， BC＝6．

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（1）求证△BCD∽△BAC．
（2）若CD＝5，求AC的长．

如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A.B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA⋅OB=OP² ，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.

（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB∠MON的关联角(填“是”或“不是”).
（2） ①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α°(0°<α°<90°)，OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积.
（3）如图4，点C是函数y= $\text{[math]}$ (x>0)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标.

如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D ， CE⊥AB于点E ， BD与CE相交于点F ．

（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC ．

若 $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为( )

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，延长ED交AB的延长线于点F，

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AE＝6，求BF的长

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．有以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）个

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF $\text{[math]}$ AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是．

如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF=AE．

（1）求证：DE=DF；
（2）在（1）的条件下，把△ADE绕点D逆时针旋转多少度后与△CDF重合；
（3）现把 $\text{[math]}$ 向左平移，使 $\text{[math]}$ 与AB重合，得 $\text{[math]}$ ， AH交ED于点G．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图， $\text{[math]}$ 是半圆的直径， $\text{[math]}$ 是半圆的弦， $\text{[math]}$ 沿弦 $\text{[math]}$ 折叠交直径 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .（1）当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为；（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的长为.

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，交AB于点F，CE＝BC.连接EF交AD于点G.

（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若CD＝2，BD＝ $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径，EG的长.

如图，C是线段AB上的任一点，分别以AB.AC.BC为直径在线段AB同侧作半圈，则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”（即图中阴影部分）.当“鞋匠刀形”的面积等于以BC为直径的半圆的面积时，过C作CD⊥AB，交圆周于点D，连接BD，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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