7.6 用锐角三角函数解决问题知识点题库

平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且 ∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：

（1）当α=0°，即初始位置时，点p在直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B。
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S_阴影.
（4）拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
（5）探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．

（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.7）

如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.73）

如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为米（结果保留根号）．

如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=14.5米，NF=0.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．

（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．（参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.5）

如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×10⁴米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.

祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目	内容
课题	测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图		说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
测量数据	∠A的度数	∠B的度数	AB的长度
	38°	28°	234米
…	…

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

如图为某景区五个景点A ， B ， C ， D ， E的平面示意图，B ， A在C的正东方向，D在C的正北方向，D ， E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C ， D相距1000 $\text{[math]}$ m ， E在BD的中点处．

（1）求景点B ， E之间的距离；
（2）求景点B ， A之间的距离．(结果保留根号)

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 $\text{[math]}$ 处测得码头 $\text{[math]}$ 的船的东北方向，航行40分钟后到达 $\text{[math]}$ 处，这时码头 $\text{[math]}$ 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $\text{[math]}$ 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 $\text{[math]}$ ）

2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A点)生成，向西北方向移动.并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆.“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30º的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域.已知上海位于舟山市北偏西7º方向，且距舟山市250千米.

（1）台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时多少千米？
（2） 10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .)

如图1，在△ABC中，AB＝4 $\text{[math]}$ ，∠B＝45°，∠C＝60°．

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（1）求BC边上的高线长；
（2）如图2，若点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．连接AP，当PF⊥AC时，求PF的长．

如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A点有一条彩带相连，已知CD＝3米，AB＝10米，则旗杆BC的高度为米．

如图，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)

下图为某区域部分交通线路图，其中直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘）， $\text{[math]}$ 上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 上的点N位于点M的北偏东 $\text{[math]}$ 方向上，且 $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$ 千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.

（1）求 $\text{[math]}$ 之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）

为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．

（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732）

（1）求∠APB的度数．
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮.如图2，小嘉从摩天轮最低处 $\text{[math]}$ 出发先沿水平方向向左行走37米到达点 $\text{[math]}$ ，再经过一段坡度为 $\text{[math]}$ ，坡长为26米的斜坡 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ ，然后再沿水平方向向左行走50米到达点 $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点 $\text{[math]}$ 的正上方点 $\text{[math]}$ 时，测得点 $\text{[math]}$ 处的俯角为 $\text{[math]}$ ，摩天轮最高处A的仰角为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 所在的直线垂直于地面，垂足为 $\text{[math]}$ ，点A、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一平面内，求 $\text{[math]}$ 的高度.（结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 $\text{[math]}$ 千米的道路 $\text{[math]}$ （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 $\text{[math]}$ 处时，测得限速道路的起点 $\text{[math]}$ 的俯角是 $\text{[math]}$ ，无人机继续向右水平飞行 $\text{[math]}$ 米到达 $\text{[math]}$ 处，此时又测得起点 $\text{[math]}$ 的俯角是 $\text{[math]}$ ，同时测得限速道路终点 $\text{[math]}$ 的俯角是 $\text{[math]}$ （注： $\text{[math]}$ ）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）求无人机离道路AB的高度（结果保留根号）；
（2）如果李师傅在道路 $\text{[math]}$ 上行驶的时间是 $\text{[math]}$ 分 $\text{[math]}$ 秒，请判断他是否超速？并说明理由．（ $\text{[math]}$ ）

如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通牌，经测量得到如下数据： $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则警示牌的高CD为米.（结果精确到0.1.参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸 A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知 C 在A的北偏东 30°方向上，B在A的北偏东 60°方向上，且在C的正南方向 900米处．

（1）求湖岸 A 与码头 C 的距离（结果精确到 1 米，参考数据： $\text{[math]}$ =1.732 ）；
（2）救援船的平均速度为 150 米/分，快艇的平均速度为 400 米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）

如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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