4.5 垂线知识点题库

如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA= $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的个数为（　　）

①DE=3cm；②EB=1cm；③S_菱形ABCD=15cm²

A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．

（1）求抛物线的解析式;
（2）填空：
①用含m的式子表示点C，D的坐标：
C（　，　　），D（　，）；
②当m=　　时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.

如图所示，直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF=55°，则∠BED= °.

完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．

如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE=90°，求证：AB∥CD

证明：∵AB∥EF

∴∠APE=（）

∵EP⊥EQ

∴∠PEQ=（）

即∠QEF+∠PEF=90°

∴∠APE+∠QEF=90°

∵∠EQC+∠APE=90°

∴∠EQC=

∴EF∥（）

∴AB∥CD（）

如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在AD，AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交AF，CF于点N，H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3 $\text{[math]}$ 时，求线段AN的长．

已知，如图：点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列错误的语句是（）

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A . 线段PB的长是点P到直线a的距离 B . PA，PB，PC三条线段中，PB最短 C . 线段AC的长是点A到直线PC的距离 D . 线段PC的长是点C到直线PA的距离

在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE＝4：6，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF＝60°，∠ABD＝25°.

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（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：DF⊥BC.

图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为 $\text{[math]}$ ．

如图，小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度.

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如图1，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD，若顶点B，C，D中存在某点到对角线的距离等于该对角线的一半，则称这个四边形为“距离和谐四边形”，这条对角线称为和谐对角线.如点C到对角线BD的距离是BD的一半，则四边形ABCD是距离和谐四边形，BD称为和谐对角线.显然，正方形ABCD属于距离和谐四边形，它的两条对角线都是和谐对角线.

（1）如图2，在4×4的网格中，点A，B，D都是网格的格点，请你确定所有格点C，使得四边形ABCD是以BD为和谐对角线的距离和谐四边形；
（2）如图1，距离和谐四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝3，
①若BD为和谐对角线，求线段AC的取值范围；

②若AC为和谐对角线，记AC的长度值为x，四边形ABCD的面积值为s，当s＝2x时，求x的值.