第25章图形的相似知识点题库

已知：如图，在四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点Q从点M出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点H，交 $\text{[math]}$ 于点G．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

解答下列问题：

（1）当 $\text{[math]}$ 为何值时，点M在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？
（2）连接PQ，作 $\text{[math]}$ 于点N，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；
（3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式；
（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 于点G，交 $\text{[math]}$ 于点F.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积与四边形 $\text{[math]}$ 的面积之比是（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为D， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则CB的长为（）

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A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 12 D . 16

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

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A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，⊙B与AB、BC交于E、F，点P是弧EF上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD.

（1）求证：△BPC∽△ADC；
（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且是面积为12时，求⊙B的半径.

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

（1）【理解运用】
如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD²+CB²＝CA²时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；
（3）【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC.设 $\text{[math]}$ ＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式.

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 中点，F为 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后，点D恰好落到 $\text{[math]}$ 上的点G处．

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（1）连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求折痕 $\text{[math]}$ 的长．

如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°.将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q.

（1）如图2，当 $\text{[math]}$ ＝1时， $\text{[math]}$ ＝；
（2）如图3，当 $\text{[math]}$ ＝2时，
①EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；

②在旋转过程中，连接PQ，若AC＝30cm，设EQ的长为xcm，△EPQ的面积为S（cm²）.求S关于x的函数表达式，并求出x的取值范围.

如图，在8×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上）及位似中心，且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．

（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条及格点O，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，GH＝EF，且格点O是线段GH，EF的位似中心．
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条及格点W，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，PQ≠MN，且格点W是线段PQ，MN的位似中心．

已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D ，直线PM交BC于点P ，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC ，过点P作PQ⊥AB ，交AB于点Q ，交AD于点N ，连接QM ，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：

（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm²)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t ，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 $\text{[math]}$ cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为s．

已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥OF于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB=∠ACD.

（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ，BG的长为 $\text{[math]}$ ，求tan∠CAB.

若线段c是线段a，b的比例中项，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

问题背景：

如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是边AB的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交BD于点F．

（1）实验探究：
在一次数学活动中，小王同学将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2所示，得到结论：① $\text{[math]}$ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．
（2）小王同学继续将 $\text{[math]}$ 绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
（3）拓展延伸：
在以上探究中，当 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD.

（1）证明直线AD是△ABC的自相似分割线；
（2）如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度.
（3）如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求∠QAC的正弦值.

如图，已知 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是.

如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点B的坐标为（2，0），过点C（-1，0）作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，交 $\text{[math]}$ 于点D，点D在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，当 $\text{[math]}$ 的面积和 $\text{[math]}$ 的面积相等时， $\text{[math]}$ .

如图 1，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（0，3），（0，2）.点 P 是 x 轴正半轴（包括原点）上一动点，连结 BP，过点 C 作 CD⊥y 轴交 BP 于点 D，连结 AD，设 D 的横坐标为 t（t≥0）.

（1）用含 t 的代数式表示 AP 的长.
（2）当 CD 平分∠BDA 时，求t的值.
（3）如图 2，过点 D 作 DE⊥AD 交 x 轴于点 E，过 B 作 BF⊥BD 交 ED 的延长线于点 F.
①当 t=0 时，试说明 DF=DA，并求出△FBD 和△DEP 的面积之比.
②当 t>0 时，且 DF=DA，求 P 的坐标，并求出此时△FBD 和△DEP 的面积之差.

如图，已知正方形ABCD，AB=6，点M为边CD上的动点，射线AM交BD于E，交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q．

（1）当点M是CD中点时，求BE长；
（2）求证：∠QCF=∠QFC；
（3）若AE²=EF·FQ，求证：△CMQ是等边三角形．

抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点．

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的点，且 $\text{[math]}$ 是直角三角形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（3）点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 为平面内任意一点，当以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

第25章 图形的相似 知识点题库

第25章图形的相似知识点题库