第14章全等三角形知识点题库

已知：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC于D ，过B作BE⊥AC于E ，交AD于O ．到O点距离等于都等于OA的所有点组成图形G ．

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（1）按要求画出图形G；
（2）连接CO ，求证：∠AOB=∠COB=∠AOC ．

如图，AD、BC相交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论中，错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部， $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 所在的直线上， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是（）

A . 平行四边形 B . 矩形 C . 菱形 D . 正方形

已知： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点H， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

在四边形ABCD中，AB＝CD，∠DAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＋∠ACD＝90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为（）.

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，请解答如下问题：

（1）如图1，已知∠C=∠F=90°，根据可得：△ABC≌△DEF；
（2）如图2，已知∠C、∠F均为钝角，求证：△ABC≌△DEF；
（3）如图3，已知∠C、∠F均为锐角，试问：△ABC≌△DEF是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请在△ABC中作出△DEF，举例说明（尺规作图），并由此得出∠C（或∠F）还要满足什么条件才能使△ABC≌△DEF？请直接给出结论.

如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B ， C重合），连接AD ，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E ．

（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝ °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE ，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

观察与猜想

（1） ①如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
②如图2，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为；
（2）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请问 $\text{[math]}$ 是定值吗？若是求出其值，若不是说明理由；

已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点坐标为 $\text{[math]}$ ，B点坐标为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长；
（2）如图2，P是y轴负半轴上一点，点C在第二象限，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，请用含t的式子表示 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D， $\text{[math]}$ 与y轴交于点E，若E是 $\text{[math]}$ 的中点，求t值．

如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD+∠BND＝180°．试说明：DM＝DN．

已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A ．

（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜ α ＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊四边形？请说明理由．

已知：在6×6的网格中， $\text{[math]}$ ABC的三个顶点都在格点上.

（1）在图1中，画出 $\text{[math]}$ ACD，使 $\text{[math]}$ ACD与 $\text{[math]}$ ACB全等，顶点D在格点上且不与点B重合；
（2）在图2中，过点B画出平分 $\text{[math]}$ ABC面积的直线l.

将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上．已知BG = $\text{[math]}$ ，BC = 3，连接DF．M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F，使CF＝ $\text{[math]}$ BC.若AB＝10，则EF的长是.

如图，若抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的两个交点A，B关于原点对称，则称线段AB为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”.已知抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点 $\text{[math]}$ ，与其“对称弦直线” $\text{[math]}$ 交于点A，B.

（1）若该抛物线的“对称弦直线”为 $\text{[math]}$ ，求抛物线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上A点右侧一点，连接CP交AB于点E，连接BP，BC，当 $\text{[math]}$ 时，求P点坐标；
（3）当该抛物线对称轴在y轴左侧时，抛物线上是否存在点H，使得 $\text{[math]}$ 是以“对称弦”AB为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出此时抛物线解析式；若不存在，请说明理由.

如图，AC平分 $\text{[math]}$ ，垂足分别为B，D.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求四边形ABCD的面积.

如图，正方形ABCD，边长为2，点E，F分别是AB，CD的中点，连结CE，AF，过点D作DG⊥AF，垂足为G，延长DG交CE于点H．

（1）求DG的长．
（2）求GH的长．
（3）求EH的长．

问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=10，AD=24，点E是AD的中点，点F在边AB上，且BF＝3，则四边形BCEF的面积是　　　　　；
（2）对于 $\text{[math]}$ ，当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
问题解决
（3）某社区为优化居民生活环境，现规划建一个四边形活动场地ABCD，如图②.按设计要求，四边形EFCD内部为室内活动区，其余为户外活动区，且满足AB＝AD＝100m，BC=160m，∠ADC=∠C=90^o ， E，F分别在边AB、BC上，EF＝BE.为满足场所需要，想让室内活动区尽可能大.请问：是否存在符合设计要求的面积最大的四边形EFCD？若存在，求四边形EFCD面积的最大值及此时BF的长；若不存在，请说明理由.

第14章 全等三角形 知识点题库

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