第33章相似知识点题库

某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 $\text{[math]}$ ．如图，圆内接正五边形 $\text{[math]}$ ，圆心为O， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点H， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出 $\text{[math]}$ 的形状；
（2）求证： $\text{[math]}$ ，且其比值 $\text{[math]}$ ；
（3）由对称性知 $\text{[math]}$ ，由（1）（2）可知 $\text{[math]}$ 也是一个黄金分割数，据此求 $\text{[math]}$ 的值．

一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A . 一种 B . 两种 C . 三种 D . 四种

如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，求QI的长。

如图，四边形 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ .

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（1） $\text{[math]}$ ＝，它们的相似比是.
（2）求边x、y的长度.

如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则下列说法不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$

如图所示，身高1.5米的小明从路灯下的A点经过，测量得身后的影子 $\text{[math]}$ 的长5米，沿 $\text{[math]}$ 所在的直线行走10米到B点时，身后的影子 $\text{[math]}$ 长为2米.

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（1）请你确定路灯P的位置
（2）求路灯P距到地面的距离.

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，圆P与射线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为点E，直线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点G．点M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，联结 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求x的值；
（3）如果射线 $\text{[math]}$ 与圆P的另一个公共点为点F，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

综合与探究

如图1，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，B两点，与x轴的另一个交点为点C，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 关于直线l对称的 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿着x轴向左平移t个单位长度得到 $\text{[math]}$ ，A，B，D三点的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，当点A与点C重合时停止． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．请解答下列问题：
①求S与t的函数关系式；

②当 $\text{[math]}$ 轴时，求S的值；
（3）当（2）中的S取得最大值时，点 $\text{[math]}$ 沿着一定的路径运动到 $\text{[math]}$ 轴上的点P处，然后再沿着与x轴平行的直线运动到抛物线对称轴上的点Q处，最后运动到点C处．请直接写出点 $\text{[math]}$ 运动到点C处的最短路径的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴.
（2）当 $\text{[math]}$ 时，将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ .
①求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式.

②设抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ .是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线L与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，且经过点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点D的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的最大值，及此时点E的坐标；
（3）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

下列命题中，说法正确的是（）

A . 四条边对应成比例的两个四边形相似 B . 四个内角对应相等的两个四边形相似 C . 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D . 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

如图，在四边形ABCD中，AB $\text{[math]}$ CD，∠D=90°，AC⊥BC，DC=8cm，AD=6cm．点F从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，同时，点E从B点出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t(s)．

（1）求AB长度；
（2）设四边形ACEF的面积为y (cm²)，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形ACEF的面积是△ACD的面积的 $\text{[math]}$ 倍？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
（4）求t为何值时△BEF为直角三角形．

如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，点D为AB的中点，连结DF并延长，交AC于点E，延长AF交BC于点M．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为．

若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， $\text{[math]}$

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=4，CE= $\text{[math]}$ ，求△ABC的边长．

如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°.求证：△ADC∽△DEB.

如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为cm.

甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为cm.

综合与实践

【问题背景】

如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .点E为边 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 将矩形折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 边的点 $\text{[math]}$ 处.

（1）【问题解决】
填空： $\text{[math]}$ 的长为.
（2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿线段 $\text{[math]}$ 向右平移，使点 $\text{[math]}$ 与点B重合，得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G.求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）【拓展探究】
在图2中，连接 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由.

如图，已知 $\text{[math]}$ ，点D是AC的中点， $\text{[math]}$ ，则AB的长为．

第33章 相似 知识点题库

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