第一章空间向量与立体几何知识点题库

如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成角的余弦值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．

（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

已知球 $\text{[math]}$ 的表面上三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的球面距离是.

在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点（如图1）.将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角（如图2）.

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

如图，已知平面四边形 $\text{[math]}$ 中，D为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .将此平面四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求点 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离.

已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ,H为 $\text{[math]}$ 上的点，过 $\text{[math]}$ 的平面分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．

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（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图 $\text{[math]}$ ，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点，O是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到图2中 $\text{[math]}$ 的位置，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴）中，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .

（1）判断点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ）相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的距离之积.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底面 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（2）设l是过点P且与 $\text{[math]}$ 平行的一条直线，点Q在直线l上，当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值最大时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形，侧面 $\text{[math]}$ 是正三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

已知向量 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，若 $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球上的动点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 距离的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面SBC， $\text{[math]}$ ，M是BC的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是矩形，P为棱 $\text{[math]}$ 上一点.且 $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ .当直线PB与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 的平面角为锐角时.求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，MA是BC边上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .如图2，将 $\text{[math]}$ 沿MA进行翻折，使得二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，再过点B作 $\text{[math]}$ ，连接AD，CD，MD，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面MAD；
（2）在线段MD上取一点E使 $\text{[math]}$ ，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值.

第一章 空间向量与立体几何 知识点题库

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