1.4 空间向量的应用知识点题库

在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB= $\text{[math]}$ ,BC=AA₁=1，点P为对角线AC₁上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则B₁P+PQ的最小值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=12，则球O的半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC

（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁﹣DE﹣B的余弦值．

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）设PD=AD=2，求点D到面PBC的距离．

已知棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，点A₁到平面DBEF的距离为．

与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有个．

把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的动点，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，试求出实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

如图， $\text{[math]}$ 平面ABCD，ABCD为正方形，且 $\text{[math]}$ ，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）

图片_x0020_100005

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不含 $\text{[math]}$ ）.

图片_x0020_366461319

（1）平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值的取值范围.

如图所示，在七面体ABCDEFG中，底面ABCD是边长为2的菱形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100017

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面BCFE；
（2）在线段BC上是否存在点M，使得平面AGE与平面MGE所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在求出线段BM的长；若不存在说明理由﹒

如图，在四棱锥P－ABCD中，CD//AB， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：BD $\text{[math]}$ 平面PAD；
（2）设平面PAD $\text{[math]}$ 平面PBC $\text{[math]}$ l， $\text{[math]}$ 平面ABCD $\text{[math]}$ G， $\text{[math]}$ ．在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点M，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形.补充条件：① $\text{[math]}$ ；② 点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内的射影是 $\text{[math]}$ 的外心.

（1）从补充条件①，②任选一个（只能选一个）结合已知条件，证明：平面 $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）在（1）成立的情况下，过 $\text{[math]}$ 的平面交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 把三棱锥 $\text{[math]}$ 分成体积相等的两部分，求锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图1所示，在凸四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ .沿着 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起来，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图2所示.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

在图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M ， N分别是PD ， PC的中点

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面PAB；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， AB=2，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为PD上的点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 平面角的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， △ $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，平面PCD⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ，点E，F，H分别是线段PB，PC，AB的中点.

（1）求证：点H在平面DEF内；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好重合，记为点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

1.4 空间向量的应用 知识点题库

1.4 空间向量的应用知识点题库