等边三角形的判定知识点题库

若菱形ABCD的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC的度数是（）

A . 120° B . 60° C . 30° D . 150°

当△ABC满足下列那个条件时，就是等边三角形（）

A . AB=AC，∠A=60° B . ∠B=60° C . AB=AC D . ∠A=∠B

如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为．

解答题。

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，CE⊥AB于点D，且DE=DC．求证：△CEB为等边三角形．

如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

（1）求证：△ABP≌△ACQ.
（2）判断△APQ的形状，并说明理由．

下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O．

求作：⊙O的内接正三角形．

作法：如图，

①作直径AB；

②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；

③连接AC，AD，CD．

所以△ACD就是所求的三角形．

根据小董设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，

∵OC=OB=BC，

∴△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）．

∴∠BOC=60°．

∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．

同理∠AOD=120°，

∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．

∴AC=CD=AD（）（填推理的依据）．

∴△ACD是等边三角形．

将两个等腰Rt△ADE、Rt△ABC如图放置在一起，其中∠DAE＝∠ABC＝90°.点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE＝15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD＝ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（　　）

A . 四边形ADEF一定是平行四边形 B . 若∠B+∠C=90°，则四边形ADEF是矩形 C . 若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形 D . 若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形

我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，隔之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失也.”也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图1，若用圆的内接正六边形的面积 $\text{[math]}$ 来近似估计半径为1的⊙O的面积，再用如图2的圆的内接正十二边形的面积 $\text{[math]}$ 来近似估计半径为1的⊙O的面积，则 $\text{[math]}$ .(结果保留根号)

如图，已知等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，判断△ADE的形状，并说明理由．

图片_x0020_1908220088

如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.

图片_x0020_100021

如图，点A、B、C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连结AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q连结PQ.

图片_x0020_100011

（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠AMC的度数；
（3）求证：△PBQ是等边三角形

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C.且B′恰好落在AB上，连接AA′，取AA′的中点D，连接B′D，则B′D的为.

如图，在矩形ABCD中，O为AC中点， $\text{[math]}$ 交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝ $\text{[math]}$ BC；（3） $\text{[math]}$ 等边三角形；（4）S_△AOE＝ $\text{[math]}$ S_矩形ABCD ，正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

下列条件中，不能得到等边三角形的是( )

A . 有两个内角是60°的三角形 B . 三条边都相等的三角形 C . 有一个角是60°的等腰三角形 D . 有两个外角相等的等腰三角形

如图，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=30°，AC=2，D，E分别是BC和AB边的中点，在DA的延长线上取一点F，使AF=1．

（1）求CE的长．
（2）求证：△CEF是等边三角形．

下列命题是假命题的是（）

A . 有两个角为60°的三角形是等边三角形 B . 对顶角相等 C . 角平分线上的点到角两边的距离相等 D . 同位角相等

有下列说法：

①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连接任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形.正确的个数有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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