超几何分布的应用知识点题库

拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展.某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下 $\text{[math]}$ 列联表：

（1）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为 $\text{[math]}$ ，试求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
（2）若在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的 $\text{[math]}$ 的值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
独立性检验临界值表：

2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.

（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：
调查人数( $\text{[math]}$ )
10
20
30
40
50
60
70
80
愿意整体搬迁人数( $\text{[math]}$ )
8
17
25
31
39
47
55
66
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 $\text{[math]}$ 关于变量 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；
（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记 $\text{[math]}$ 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
参考公式及数据： $\text{[math]}$ .

世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
频数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；
（3）已知本数据中旅游费用支出在 $\text{[math]}$ 范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与数学期望.
附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $\text{[math]}$ 表示所选3人中女生的人数．

（1）求所选3人中女生人数 $\text{[math]}$ 的概率；
（2）求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

为纪念“五四运动”100周年，某校团委举办了中国共产主义青年团知识宣讲活动活动结束后，校团委对甲、乙两组各10名团员进行志愿服务次数调查，次数统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以n表示．

图片_x0020_505949941

（1）若甲组服务次数的平均值不小于乙组服务次数的平均值，求图中n所有可能的取值；
（2）团委决定对甲、乙两组中服务次数超过15次的团员授予“优秀志愿者”称号设 $\text{[math]}$ ，现从所有“优秀志愿者”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望．

在 $\text{[math]}$ 个排球中有 $\text{[math]}$ 个正品， $\text{[math]}$ 个次品.从中抽取 $\text{[math]}$ 个，则正品数比次品数少的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取100名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．

成绩频率	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
方案A	0.02	0.11	0.22	0.30	0.24	0.08	0.03
方案B	0.16	0.18	0.34	0.10	0.10	0.08	0.04

（1）从预测试成绩在 $\text{[math]}$ 的员工中随机抽取6人，记参加方案A的人数为X，求X的最有可能的取值；
（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩 $\text{[math]}$ 与绩效等级优秀率 $\text{[math]}$ ，如下表所示：

$\text{[math]}$

32

41

54

68

74

80

92

$\text{[math]}$

0.28

0.34

0.44

0.58

0.66

0.74

0.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用 $\text{[math]}$ 作为回归方程．令 $\text{[math]}$ ，经计算得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？

（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 $\text{[math]}$ 的概率为多少？

参考公式与数据：⑴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

⑵线性回归方程 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

⑶若随机变量，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

某宅家居民为了活跃气氛，设计了一个摸球游戏.一盒中有9个球，其中3个标有数字，6个标有字母，这些球除所标不同外其他完全相同.一次从中摸出3个球，至少摸到2个标有数字的球就中奖.

（1）记摸出标有数字球的个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；
（2）求中奖的概率.

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

$\text{[math]}$

日均浓度

$\text{[math]}$

空气质量级别

一级

二级

三级

四级

五级

六级

空气质量类型

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

图片_x0020_100008

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X $\text{[math]}$ 2)等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）

A . 取出的最大号码X服从超几何分布 B . 取出的黑球个数Y服从超几何分布 C . 取出2个白球的概率为 $\text{[math]}$ D . 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 $\text{[math]}$

在含有3件次品的10件产品中，任取4件， $\text{[math]}$ 表示取到的次品数，则 $\text{[math]}$ _

2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

	收看	没收看
男生	60	20
女生	20	20

（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

$\text{[math]}$

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宜传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；

②记 $\text{[math]}$ 为入选的2人中的女生人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共.产.党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共.产.党员的人数，则下列概率中等于 $\text{[math]}$ 的是(　　)

A . P(X≤2) B . P(X＝2) C . P(X≤3) D . P(X＝3)

已知某单位甲、乙、丙三个部门员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用 $\text{[math]}$ 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；

2020年8月，习.平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．

（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生X人，求随机变量X的分布列；

某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；

（Ⅱ）他能过关的概率．

在10件产品中，有3件一等品.4件二等品.3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：

（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

下列说法正确的是（）

A . 若随机变量 $\text{[math]}$ 的概率分布列为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则 $\text{[math]}$ ．

随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构抽取某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网的时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”．调查统计结果如下表：

	有网瘾	无网瘾	合计
女生	40	10	50
男生	20	30	50
合计	60	40	100

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

（1）根据统计结果，判断是否有99.9%的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；
（2）现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参加座谈会，记这3人中“无网瘾”的人数为X，试求X的分布列和数学期望．

调查人数( $\text{[math]}$ )	10	20	30	40	50	60	70	80
愿意整体搬迁人数( $\text{[math]}$ )	8	17	25	31	39	47	55	66

$\text{[math]}$	32	41	54	68	74	80	92
$\text{[math]}$	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94

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