全国高三数学竞赛试卷（2018年上期）网上考试练习

1. 填空题	详细信息
已知实数，且，正方形的面积等于36，其中，轴，、、分别是函数，，图像上的点.则__________.

2. 填空题	详细信息
在中，已知，，，平面外一点满足.则三棱锥的体积等于__________.

3. 填空题	详细信息
给定集合，，若集合、满足，则点在直角坐标平面中的轨迹方程是__________.

4. 填空题	详细信息
给定小于2011的正数则__________，其中，表示不超过实数的最大整数.

5. 填空题	详细信息
在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径作圆依次与抛物线交于、、、四点.若与的交点恰为抛物线的焦点，则__________.

6. 填空题	详细信息
一个五位数满足，且，（如37201，45412），若其数码随位数的变化规律类似正弦函数在一个周期上单调性的变化，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有__________个五位数符合正弦规律.

7. 填空题	详细信息
已知的外心为，且.则的最小值是__________.

8. 填空题	详细信息
已知数列满足，，，则的通项公式__________..

9. 解答题	详细信息
是中心在坐标原点的椭圆的左焦点，过的斜率不为零的直线交椭圆于、两点，联结并延长交椭圆于点.试求面积的最大值.

10. 解答题	详细信息
从集合的子集中先后取出两个不同的子集、，求以下事件发生的概率： （1），且； （2）Card

11. 解答题	详细信息
设正实数、、、，且满足，试求的最大值和最小值.

12. 解答题	详细信息
如图，的内切圆分别与边、、切于点、、.过延长线上一点作的另一条切线，与切于点，并与、分别交于点、.记与交于点，与交于点.证明：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线.

13. 解答题	详细信息
设是质数，数列满足，，且对任意非负整数有.若是数列中的项，试求的所有可能值.

14. 解答题	详细信息
已知正实数、、满足，证明：，其中，“”表示轮换对称和.

15. 解答题	详细信息
给定正整数.将三种水果分装在个箱子中.试求最小的正整数，使得无论水果如何分布，总可选出个箱子，它们所装的三种水果都不少于各自总量的一半.