全国2019年高三上册数学竞赛试卷免费试卷完整版

1. 填空题	详细信息
已知不等式对于一切正数、恒成立．则实数的最小值为______．

2. 填空题	详细信息
在正四面体中，设，，记和所成的角为．则______．

3. 填空题	详细信息
已知关于的方程的两根均为整数．则实数的值为______．

4. 填空题	详细信息
为不超过实数茗的最大整数．已知数列满足，，则的值为______．

5. 填空题	详细信息
如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，、、、是道路网中位于一条对角线上的四个交汇处．今在道路网、处的甲、乙两人分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时分别向、处行走，直到到达、为止．则甲、乙两人相遇的概率为______．

6. 填空题	详细信息
已知以为周期的函数，若方程恰有五个实数解，则的取值范围为______．

7. 填空题	详细信息
设是定义在上的单调增函数，且对任意的正数，都有①，则______．

8. 填空题	详细信息
设函数，则的最小值为______．

9. 解答题	详细信息
已知双曲线的离心率为，右准线方程为，上的动点处的切线与双曲线交于不同的两点、．证明：．

10. 解答题	详细信息
已知函数，其中，为实参数．求所有的数对，使得函数在区间内恰好有2011个零点．

11. 解答题	详细信息
设是上的不减函数，且满足：（1）；（2）；（3），求的值．

12. 解答题	详细信息
如图，已知过外一点作的两条切线、及两条割线、，联结弦，分别与割线、交于点、．求证： （1）； （2）、、三线共点．

13. 解答题	详细信息
是否存在实数，使得是一个三元多项式．

14. 解答题	详细信息
在某次会操活动中，领操员让编号为的名学生排成一个圆形阵，做循环报数，领操员一一记录报数者的编号，并要求报l、2的学生出列，报3的学生留在队列中，并将编号改为此次循环报数中三名学生的编号之和．一直循环报数下去．当操场上剩余的学生人数不超过两名时，报数活动结束．领操员记录最后留在操场的学生编号（例如，编号为的九名学生排成一个圆形阵，报数结束后，只有原始编号为9的学生留在操场，此时，他的编号为45，领操员记录下来的数据分别为l，2，3，4，5，6，7，8，9，6，15，24，45）．已知共有2011名学生参加会操． （1）最后留在场内的学生最初的编号是几号? （2）求领操员记录下的编号之和．

15. 解答题	详细信息
试求所有的正整数，满足存在一个整数，使得是的一个因数．