数学奥林匹克高中训练题,182

1.	详细信息
已知集合，则集合B的所有元素之和为________。

2.	详细信息
若，则θ的取值范围是________。

3.	详细信息
已知。则=________。

4.	详细信息
在四面体ABCD中，已知，△ADB、△BDC、△CDA的面积分别为、2、1。则此四面体体积为________。

5.	详细信息
小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止。则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________。

6.	详细信息
已知，则xy+yz+zx的最小值为________

7.	详细信息
在平面直角坐标系中，已知与交于P(3,2)、Q两点，两圆半径之积为。若两圆均与直线l:y=kx和x轴相切，则直线l的方程为________。

8.	详细信息
将具有如下性质的3×3方格表称为“T-网格”: （1）五个格填1，四个格填0； （2）三行、三列以及两条对角线共八条线上至多有一条，其中三个数两两相等。 则不同的T-网格共有________个。

9.	详细信息
已知函数，证明：f(x)在区间(0,1)上必有零点。

10.	详细信息
已知双曲线的左、右焦分别为点，过定点P(2,3)作双曲线的切线，切点分别为A、B，且点A的横坐标小于点B的横坐标。 （1）求直线AB的方程； （2）证明：。

11.	详细信息
已知实数x、y满足，求的取值范围。

12.	详细信息
如图，已知AB为凸四边形ABCD的最长边，点M、N分别在AB、BC上，且AN、CM均平分四边形ABCD的面积。证明：线段MN平分对角线BD。

13.	详细信息
已知正数数列满足对于任意的正整数n，有。 证明：（1）对于任意的正整数n(n≥2)有； （2）从某一个正整数n开始均有。

14.	详细信息
设表示k个数字均为1的十进制数(如=1，=111)，定义。 （1）对于任意正整数m、n，令，写出一个关于f(m,n)的递推关系式，并证明之； （2）证明：对于任意正整数m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除。

15.	详细信息
某国有53座城市，任意两座城市之间要么有一条双向公路直达，要么没有直接相连的公路。已知这53座城市之间共有312条公路，并且由任何一座城市出发通过公路均能到达其余各城市。每一座城市至多向其余12座城市引出公路，且每走一条公路需要缴纳10元路费。现甲在城市A，且身上仅有120元。甲是否一定能到达任意一座城市？证明你的结论。