题目

橡胶树的原产地是（    ） A．北美洲          B．南美洲           C．非洲             D．亚洲 答案：B17．数学问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算探究一：计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$ 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$最后空白部分的面积是 $\frac{1}{{2}^{n}}$．探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．探究三：计算$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$．第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为$\frac{3}{4}$；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{4}^{n}}$根据第n次分割图可得等式：$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．两边同除以3，得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$探究四：计算$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+…+$\frac{1}{{5}^{n}}$（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：$\frac{m-1}{m}$+$\frac{m-1}{{m}^{2}}$+$\frac{m-1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{m-1}{{m}^{n}}$=1-$\frac{1}{{m}^{n}}$，所以，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{1}{{m}^{3}}$+…+$\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．拓广应用：计算$\frac{6-1}{6}$+$\frac{{6}^{2}-1}{{6}^{2}}$+$\frac{{6}^{3}-1}{{6}^{3}}$+…$\frac{{6}^{n}-1}{{6}^{n}}$．