22.1 二次函数的图象和性质知识点题库

如图，抛物线L: $\text{[math]}$ （常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 $\text{[math]}$ 于点P，且OA·MP=12.

（1）求k值；
（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；
（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x₀ ，且满足4≤x₀≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.

若抛物线l₁的顶点A在抛物线l₂上，抛物线l₂的顶点B在抛物线l₁上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l₁ ， l₂称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。

（1）在图1中，抛物线l₁：y=-x²+4x-3与l₂：y=a(x-4)²-3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为，a的值为；
（2）在图2中，已知抛物线l₃：y=2x²-8x+4，它的“伴随抛物线”为l₄ ，若l₃与y轴交于点C，点C关于l₃的对称轴对称的点为D，诸求出以点D为顶点的l₄的解析式；
（3）若抛物线y=a₁(x-m)²+n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a₂(x-h)²+k，请写出a₁与a₂的关系式，并说明理由。

已知二次函数y=2x²-4x-6．

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．

抛物线 $\text{[math]}$ 经过平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，平移过程正确的是（）

A . 先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B . 先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C . 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D . 先向右平移6个单位，再向下平移3个单位

下列关系式中，属于二次函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知二次函数y＝－ $\text{[math]}$ x²＋x＋4.

（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

如图，在平面直⻆坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣ $\text{[math]}$ ）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax²+bx+c的顶点，交y轴于点D．

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（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；
（3）如图2，点Q是第三象限内抛物线上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，下列说法① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称；④ $\text{[math]}$ ；⑤当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大，其中正确的个数是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点.

图片_x0020_100028

（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△ACE＝2S_△ACD ，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长.

已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），当自变量 $\text{[math]}$ 的值满足 $\text{[math]}$ 时，与其对应的函数值 $\text{[math]}$ 的最大值为-3，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3或4 B . 0或4 C . 0或7 D . 7或3

抛物线 $\text{[math]}$ 图象与x轴无交点，则a的取值范围为；

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 过A ， B ， C三点，点A的坐标是 $\text{[math]}$ ，点C的坐标是 $\text{[math]}$ ，动点P在抛物线上．

（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）是否存在点P ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设动点P的横坐标为m ， $\text{[math]}$ 的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．

抛物线的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ 轴向上平移2个单位长度，将 $\text{[math]}$ 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴有且只有一个公共点．

（1）求该二次函数的图象的顶点坐标；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该二次函数的图象上的两点，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如右图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（-2，y₁），点B（ $\text{[math]}$ ，y₂），点C（ $\text{[math]}$ ，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；其中正确的结论有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 1个

如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．

（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x²＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．

直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

如图已知二次函数 $\text{[math]}$ （b，c为常数）的图象经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，顶点为点M，过点A作 $\text{[math]}$ 轴，交y轴于点D，交二次函数 $\text{[math]}$ 的图象于点B，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向上平移 $\text{[math]}$ 个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在 $\text{[math]}$ 的内部（不包括 $\text{[math]}$ 的边界），求m的取值范围；
（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线 $\text{[math]}$ 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由.

已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与在 $\text{[math]}$ 轴下方的抛物线有交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

抛物线 $\text{[math]}$ 的开口方向是．（选填“向上”或“向下”）

22.1 二次函数的图象和性质 知识点题库

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