第一章直角三角形的边角关系知识点题库

已知⊙O的半径OA＝r ，弦AB ， AC的长分别是 $\text{[math]}$ r ， $\text{[math]}$ r ，则∠BAC的度数为．

已知△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°<∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上(点M、N不与所在线段端点重合)，BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE。

（1）如图，当△ACB=90°时，请直接写出△BCM与△ACN的关系：；BD与DE的位置关系：。
（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是多少？(用含α的代数式表示)
（3）若△ABC是等边三角形，AB=3 $\text{[math]}$ ，N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，求线段CF的长。

我校举行开学仪式，为了更好的掌控时间，学校礼仪队小明同学现场进行了如下测量操作：小明同学在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放30秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度上升？（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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如图，为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B、A在C的正东方向，D在C的正北方向，D和E均在B的北偏西18°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距1000米，E在BD的中点处，求景点B、A之间的距离.（结果保留整数）

（参考数据：sin18°≈0.3；cos18°≈0.9；tan18°≈0.3；sin72°≈0.9；cos72°≈0.3；tan72°≈3.1； $\text{[math]}$ ≈1.4）

某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图1、图2、图3中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，像 $\text{[math]}$ 这样的三角形均称为“中垂三角形”.

（1）（特例探究）
如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）（归纳证明）
请你观察（1）中的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；
（3）（拓展证明）
如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

先化简，再求代数式 $\text{[math]}$ 的值，其中 $\text{[math]}$ ．

如图，半径为 $\text{[math]}$ 的⊙O与边长为9的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝.

（1）计算：| $\text{[math]}$ ﹣3|+2 $\text{[math]}$ cos60°﹣ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ﹣（﹣ $\text{[math]}$ ）⁰ ．
（2）先化简，再求值：（x+2+ $\text{[math]}$ ）÷ $\text{[math]}$ ，其中x＝ $\text{[math]}$ ﹣1．

如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC=120°，∠BEC=∠CBF=50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME=30° ；②△ADE≌ABE；③EM= BC；④AE+ BM= $\text{[math]}$ EM，其中正确结论的个数是( )

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁ ， A₁B 交 AC 于点 E，A₁C₁ 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．

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（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA₁ 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC₁DA 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．

如图

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（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M.
求：① $\text{[math]}$ 的值；

②∠AMB的度数.
（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，将 $\text{[math]}$ 点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=2，OB= $\text{[math]}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点）.

（1）在图中画一个Rt△ABC，使其同时满足以下三个条件：
①A为直角顶点；②点C在格点上；③ $\text{[math]}$ ；
（2）在（1）的条件下，请在网格中找到另一个格点D，满足tan∠CBD=1，连结CD，求线段CD的长.

如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（）

A . 6米 B . $\text{[math]}$ 米 C . 4米 D . $\text{[math]}$ 米

如图，某商场修建“飞天扶梯”吸引顾客．已知扶梯 $\text{[math]}$ 的坡度为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．若测得 $\text{[math]}$ 米，则扶梯的高度 $\text{[math]}$ 为米（结果保留根号）．

公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形组成的一个大正方形.如果小正方形的面积是4，大正方形的面积是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

在 Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为30m，则这栋楼的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 75m D . $\text{[math]}$

2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD $\text{[math]}$ BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i=1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75° ，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到 0.1m；参考数据：sin75°≈0.97， cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

第一章 直角三角形的边角关系 知识点题库

第一章直角三角形的边角关系知识点题库