第6章平行四边形知识点题库

如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=9，点E在AB上，点G在AD上，AEFG为正方形。点M，N分别为BC，CD上的动点，MO⊥BC，NO⊥CD，且点O始终在正方形AEFG的内部，MO交EF于点P，NO交FG于点Q。

（1）设CM=AE=a，
①用含a的代数式表示四边形EBMP的周长；

②若四边形OPFQ，GQND的周长之和恰好为四边形EBMP周长的两倍，求a的值。
（2）设CM=3x，CN=2x，AE=nCN，是否存在正整数x，n，使得S_{四边形EBMF}=S_{四边形GQND}？若存在，求出x，n的值；若不存在，请说明理由。

正方形具有而菱形不具有的性质是（）

A . 四条边都相等 B . 对角线互相垂直 C . 两组对角分别相等 D . 四个角都是直角

如图，在 $\text{[math]}$ ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6cm，AB=9cm，求EC的长．

如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G.

（1）求证：四边形OGCF是正方形.
（2）若 $\text{[math]}$ ，AC=4，求正方形OGCF的边长.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，正比例函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 的图象都经过点 $\text{[math]}$ 和点B，过点A作 $\text{[math]}$ 的垂线交x轴于点C.D是线段 $\text{[math]}$ 上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ .

（1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）设点D的横坐标是 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求t的值；
（3）过点F作 $\text{[math]}$ 的垂线交线段 $\text{[math]}$ 于点P.若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁ ，点P、Q分别是AB、A₁C₁的中点，PQ的最小值等于.

小亮在学习中遇到如下一个问题：

如图1，点 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上一动点，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 $\text{[math]}$ 的长度作为自变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度都是 $\text{[math]}$ 的函数，分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .请将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度，得到下表的几组对应值：

$\text{[math]}$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	4.5	5.0	5.5	6
$\text{[math]}$	6	5.9	5.7	5.2	4.5	$\text{[math]}$	3.3	2.4	0
$\text{[math]}$	6	5.0	4.2	3.7	4	4.5	5.3	6.3	8.5

①上表中 $\text{[math]}$ 的值是 ▲ ；

②操作中发现，“无需测量线段 $\text{[math]}$ 的长度即可得到 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式”.请直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式.

（2）小亮已在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中画出了函数 $\text{[math]}$ 的图象，如图2所示.

①请在同一坐标系中画出函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象；

②结合图象直接写出当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，线段 $\text{[math]}$ 长度的近似值（结果保留一位小数）
（3）小亮观察发现，函数 $\text{[math]}$ 的图象有最低点.请你直接写出线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值（写出精确值）

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，AD=3，E为对角线BD上的动点，点F在边AB上，且满足 $\text{[math]}$ .连接AE，记△AEF的S面积为S₁ ， △BCE的面积为S₂ ，若 $\text{[math]}$ ，则a的取值范围是.

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O分别与BC，AC交于点D，E，点F在AC边上，DF是圆O的切线．

（1）证明：DF⊥AC；
（2）连接OD，DE，当AC＝4FC时，判断四边形AODE的形状，并证明你的结论．

如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，O为AC，BD的中点，AB=10，AC=16，BD=12.

（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形?请证明；
（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP=2OQ.若PQ=BQ，求AP的长.

如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9，E是CD上一点，连结AE，∆ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AG＝2GD，则DE的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

如图，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．

（1）求AB的长．
（2）若CE//BD，BE//AC，连接OE，求证：OE＝AD．
（3）设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．

如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E为对角线AC上的动点，EF⊥DE交BC边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.

（1）当AE＝2时，求 $\text{[math]}$ ；
（2）点H在AD上且HD＝3，连接HG，则HG的取值范围是.

（1） [问题提出]如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是；
（2） [问题探究]
如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
（3） [问题解决]
如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20 $\text{[math]}$ 米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏.考虑植物园的整体布局，扩建部分 $\text{[math]}$ BPC需满足∠BPC＝60°.为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由.

菱形ABCD中，∠ABC= 60°，ΔAEF的顶点E、F分别在 BC、CD上．

（1）如图1，当∠EAF = 60° 时，若AB = 6，BE =2，求AF的长；
（2）如图2，若点M、N分别为BC、EF的中点，E在点B、M之间，当∠AEF = 60° 时，连接MN并延长交AC于点K，求证：MK⊥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点E与点M重合时，过AC上一点G，作GH⊥AF于点H，连接CH并延长至点P，使得∠BGP =120°，连接BP交AF于点Q．当QH=GH时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 边于点E，点F在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点G，H，动点P在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ .则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，D为AB边上的点.

（1）求作：平行四边形ADCE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，已知 $\text{[math]}$ ，求四边形ADCE的面积.

如图1，在 $\text{[math]}$ ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AN为∠CAM的平分线．

（1）求证：∠DAN＝90°；
（2）如图2，过点C作CE∥AD，交AN于点E，求证：四边形ADCE为矩形；
（3）求当AD和BC满足怎样的数量关系时，四边形ADCE是正方形，并说明理由．

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于 $\text{[math]}$ 为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恰好经过点A，与 $\text{[math]}$ 交于点E，连接BE．则下列说法正确的是

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$

如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm² ，那么长方形ABCD的面积是（）

A . 6cm² B . 7cm² C . 8cm² D . 9cm²

第6章 平行四边形 知识点题库

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