30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数知识点题库

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图（1），抛物线 y=﹣ $\text{[math]}$ x²平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）直接写出阴影部分的面积 S_阴影；
（3）如图（2），直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点（点M不与点A，O重合），∠PMN为直角，MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时，△MAN为等腰三角形？

已知：抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点A（-3，0），B（m，0）．将y₁向右平移4个单位得到y₂ ．

（1）求b的值；
（2）求抛物线y₂的表达式；
（3）抛物线y₂与 $\text{[math]}$ 轴交于点D，与 $\text{[math]}$ 轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线 $\text{[math]}$ 与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线 $\text{[math]}$ 与抛物线y₂的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求直线 $\text{[math]}$ 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之和最小，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）设点 $\text{[math]}$ 为抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，求使 $\text{[math]}$ 为直角三角形的点 $\text{[math]}$ 的坐标.

如图抛物线经y=ax²+bx+c过点A（-1，0），点C(0，3），且OB=OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形APBC面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C．

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MH⊥BC于点H，作ME⊥x轴于点E，交BC于点F，在点M运动的过程中，△MFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AB，在y轴上取一点P，使△ABP和△ABC相似，请求出符合要求的点P坐标．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，将直线 $\text{[math]}$ 沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．

（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

抛物线 $\text{[math]}$ （a>0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a的取值范围是．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标分别是 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在第一、二象限的抛物线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线分别交 $\text{[math]}$ 轴和直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ．

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（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）当点 $\text{[math]}$ 在第一象限的抛物线上时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一点.

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（1）求抛物线的解析式；
（2）求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交对称轴右侧的抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

（1）如果抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，求该抛物线的解析式；
（2）如果抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 内.
①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过点 $\text{[math]}$ ，此时点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，平移后的抛物线与线段 $\text{[math]}$ 是否还存在其它交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，与 $\text{[math]}$ 轴交于原点和点 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）求二次函数的表达式；
（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过 $\text{[math]}$ 两点可以画无数条抛物线，设顶点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴作垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ .求当所得的四边形 $\text{[math]}$ 为正方形时的二次函数表达式；
（3） $\text{[math]}$ 点在（1）中求出的二次函数图象上，且 $\text{[math]}$ 点的横坐标为1， $\text{[math]}$ 点是坐标平面上一点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，是否存在以 $\text{[math]}$ 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x²＋mx＋20交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝ $\text{[math]}$ x交抛物线于C，D两点（点C在点D左边），点E是抛物线上位于B，D两点之间的一点，过点E作EF⊥OD于点F，设点E的横坐标为t，EF的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OE，BE，点G是线段OD上一点，连接EG，当以O，E，G为顶点的三角形与△OBE全等时，在直线x＝ $\text{[math]}$ 上是否存在一点H，使得∠EHG为直角．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上．若 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上.

（1） $\text{[math]}$ =，c=（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

如图，一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C₁ ，它与x轴交于点O ， A₁；将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ，交x轴于点A₂；将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，交x轴于点A₃；…如此进行下去，直至得C₅ ．若P(14，m)在第5段抛物线C₅上，则m值为（）

A . 2 B . 1.5 C . -2 D . -2.25

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求b，c的值.

如图，二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象经过点 $\text{[math]}$ ，与x轴分别交于点A ，点 $\text{[math]}$ ．

（1）求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，求点P的坐标；
（3）点P是抛物线上任意一点，过点P做 $\text{[math]}$ ，垂足为点D ．过点P作 $\text{[math]}$ 轴，与抛物线交于点Q ．若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标．

九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图3，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由

30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数 知识点题库

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