5.7 三角函数的应用 知识点题库

如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（　　）

如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时．

半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　）

一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为 秒．

为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为 ， 秒针从P₀（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（　　）

某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．

将S表示为α的函数.

为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的两个顶点 及 的中点 处， ， ，现要在该矩形的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处设一个宣讲站，记 点到三个乡镇的距离之和为 ．

（Ⅰ）设 ，将 表示为 的函数；

（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站 的位置，使宣讲站 到三个乡镇的距离之和 最小．

某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 及其内接等腰三角形 绕底边 上的高所在直线 旋转180°而成，如图2.已知圆 的半径为 ，设 ，圆锥的侧面积为 .

江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 km ， km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为 km ． 规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为 （ (0， )），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．

在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< ）

某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中 对应凌晨0点）的函数 近似满足   ,如图是函数 的部分图象．

电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（   ）

摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为 ，到达最高点时，距离地面的高度为 ，能看到方圆 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到 后距离地面的高度为 ，则转到 后距离地面的高度为 ，在转动一周的过程中， 关于 的函数解析式为.

广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时.

下列结论中正确的是（    ）

①设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ， ，则 ；

② 是函数 取得最大值的充要条件；

③已知命题 ， ；命题 ， ，则 为真命题；

④等差数列 中，前 项和为 ，公差 ，若 ，则当 取得最大值时， .

用一张A4纸围绕半径为rcm的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为 （0°＜ ＜90°），如图②．将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为 ，若f(x)的最小正周期为 ，则r＝cm，此时，当 ＝时，可使f(x)的值域为 ．

已知点A，B，C是函数 的图象和函数 图象的连续三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围为（   ）

某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ， ．

神舟十三号三位航天英雄在太空出差180余天后，顺利返回地面．如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻位于点 ， 预计垂直落在地面点处，在地面同一水平线上的A、B两个观测点，分别观测到点的仰角为15°，45°，若千米，则点距离地面的高度约为千米（参考数据：）．

为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心后转向方向，已知 ， 现准备修建一条城市高架道路 ， 在上设一出入口 ， 在上设一出口 ， 假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为.