8.1 基本立体图形知识点题库

一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为

四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（　　）

A . 各侧面是正三角形 B . 底面是正方形 C . 各侧面三角形的顶角为45度 D . 顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．

（1）求V关于α的函数关系式；
（2）当α为何值时，V取得最大值；
（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．

如图：长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC₁的中点，P为C₁D₁上动点，当EF⊥CP时，PC₁=．

长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若A₁C与平面AB₁D₁相交于点M，则 $\text{[math]}$ =．

给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是(填序号)．

长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

如图，已知四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中心.

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（1）过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一周所形成的几何体的体积；
（2）将 $\text{[math]}$ 绕直线 $\text{[math]}$ 旋转一周，则在旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角记为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为.

用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）

A . 圆柱 B . 圆锥 C . 球体 D . 组合体

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为a ，点 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点，下列结论中正确的个数是（）

①过 $\text{[math]}$ 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；② $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ；④四面体 $\text{[math]}$ 的体积等于等 $\text{[math]}$ .

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .

（1）是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；
（2）画出平面 $\text{[math]}$ 截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A . 8π B . 12π C . 20π D . 24π

已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

已知底面半径和高都为 $\text{[math]}$ 的圆锥，其内接圆柱的高为 $\text{[math]}$ ，则这个圆柱的侧面积为．

我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S−ABC中，侧棱SA､SB､SC两两垂直，设SA=a，SB=b，SC=c，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA､SB､SC与底面所成的角分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有（）

A . D为△ABC的外心 B . △ABC为锐角三角形 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．模型假设：

（1）建立模型
记圆柱体积为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，底面半径为 $\text{[math]}$ ，上盖､下底和侧壁的厚度分别为 $\text{[math]}$ ，

金属用料总量为C．

由几何知识得到如下数量关系：

$\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

由①得 $\text{[math]}$ ，代入②整理得： $\text{[math]}$ ．

因为 $\text{[math]}$ 都是常数，不妨设 $\text{[math]}$ ，

则用料总量的函数简化为 $\text{[math]}$ ．

请写出表格中代入整理这一步的目的是：．
（2）求解模型：
所以，在 $\text{[math]}$ (用 $\text{[math]}$ 表示)时， $\text{[math]}$ 取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（3）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，代入（3）的模型结果，经计算得 $\text{[math]}$ 经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径 $\text{[math]}$ 差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：．

相应改进措施为：．