3.3函数的应用(一) 知识点题库

定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)=kx+b（k,b为常数），使得f(x) $\text{[math]}$ g(x)对一切实数都成立，则称g(x)是函数f(x)的一个“亲密函数”，现有如下的命题：
(1)对于给定的函数f(x)，其“亲密函数”有可能不存在，也可能有无数个；
(2)g(x)=2x是f(x)=2^x的一个“亲密函数”；
(3)定义域与值域都是R的函数f(x)不存在“亲密函数”。
其中正确的命题是（）

A . (1) B . (2) C . (1)(2) D . (1)(3)

若存在负实数使得方程 $\text{[math]}$ 成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P₀e^－kt ，（k，P₀均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（）时间过滤才可以排放．

A . $\text{[math]}$ 小时 B . $\text{[math]}$ 小时 C . 5小时 D . 10小时

已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象上存在关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“局部奇函数”.

（1）已知二次函数 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“局部奇函数”?并说明理由；
（2）设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的“局部奇函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

符号 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ ，定义函数 $\text{[math]}$ ．给出下列四个结论：①函数 $\text{[math]}$ 的定义域是R，值域为[0，1]；②方程 $\text{[math]}$ 有无数个解；③函数 $\text{[math]}$ 是增函数．其中正确结论的序号有（）

A . ①③ B . ③ C . ② D . ②③

定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 若同时满足：①存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的图象存在对称中心．则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 函数”．已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则以下结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是 $\text{[math]}$ 函数 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 函数， $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 函数 C . $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 函数 D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都不是 $\text{[math]}$ 函数

在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB ， BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b ．

（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a ， b ， x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.

甲每天生产的次品数/件	0	1	2	3	4
对应的天数/天	40	20	20	10	10

乙每天生产的次品数/件	0	1	2	3
对应的天数/天	30	25	25	20

（1）将甲每天生产的次品数记为 $\text{[math]}$ （单位：件），日利润记为 $\text{[math]}$ （单位：元），写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记 $\text{[math]}$ 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划． $\text{[math]}$ 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 $\text{[math]}$ 万元，每生产 $\text{[math]}$ （百辆），需另投入成本 $\text{[math]}$ 万元，且 $\text{[math]}$ 由市场调研知，每辆车售价 $\text{[math]}$ 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

（1）求出 $\text{[math]}$ 年的利润 $\text{[math]}$ （万元）关于年产量 $\text{[math]}$ （百辆）的函数关系式；（ $\text{[math]}$ ）
（2） $\text{[math]}$ 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

将进货单价为6元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个 $\text{[math]}$ 若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应为多少元？最大利润是多少元？

定义：若函数 $\text{[math]}$ 在某一区间 $\text{[math]}$ 上任取两个实数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ .

（1）试判断下列函数中哪些函数具有性质 $\text{[math]}$ （给出结论即可）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .
（2）从（1）中选择一个具有性质 $\text{[math]}$ 的函数，用所给定义证明你的结论.
（3）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上具有性质 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示乌龟和兔子所行的路程， $\text{[math]}$ 为时间，则与故事情节相吻合的是（）

A .

B .

C .

D .

将一张长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，其中纸片的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ .

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（1）按图1情形折叠，其中 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）按图2情形折叠，其中 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ 不与长方形顶点重合），记折痕长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求折痕长 $\text{[math]}$ 的取值范围.

中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆 $\text{[math]}$ ，其“优美函数”有无数个；②函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数 $\text{[math]}$ 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数 $\text{[math]}$ 是“优美函数”的充要条件为函数 $\text{[math]}$ 的图象是中心对称图形．

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A . ①④ B . ①③④ C . ②③ D . ①③

某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益 $\text{[math]}$ 与广告费 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，在网络媒体上投放广告的收益 $\text{[math]}$ 与广告费 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设在报刊上投放的广告费为 $\text{[math]}$ (单位：万元)，总收益为 $\text{[math]}$ (单位：万元).

（1）当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 $\text{[math]}$ 的值为( )

A . 21 B . 76 C . 264 D . 642

已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天 $\text{[math]}$ 的旅游人数 $\text{[math]}$ （万人）近似地满足 $\text{[math]}$ ，而人均消费 $\text{[math]}$ （元）近似地满足 $\text{[math]}$ ．则求该城市旅游日收益的最小值是（）

A . 480 B . 120 C . 441 D . 141

对于两个定义域相同的函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若存在实数m、n使 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是由“基函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ”生成的．

（1）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 生成一个偶函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ 由函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ）生成，求 $\text{[math]}$ 的取值范围：
（3）试利用“基函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ”生成一个函数 $\text{[math]}$ ，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数 $\text{[math]}$ 的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明）

某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭元.