探索数与式的规律知识点题库

我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i²=-1（即方程x²=-1有一个根为i）.并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹=i ， i²=-1 ， i³=i²·i=-i ， i⁴=(i²)²=(-1)²=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ·i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1， i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1.那么i+i²+i³+…i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值为.

观察下列关于自然数的等式：

3²﹣4×1=4+1 ①

5²﹣4×2=16+1 ②

7²﹣4×3=36+1 ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

按一定规律排列的单项式：a，﹣a² ， a³ ， ﹣a⁴ ， a⁵ ， ﹣a⁶ ， ……，第n个单项式是（）

A . aⁿ B . ﹣aⁿ C . （﹣1）ⁿ⁺¹aⁿ D . （﹣1）ⁿaⁿ

电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多一个座位，问电影院第n排有多少个座位？

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由一些整数的倒数组成的，第 $\text{[math]}$ 行有 $\text{[math]}$ 个数，且两端的数都为 $\text{[math]}$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第 $\text{[math]}$ 行第 $\text{[math]}$ 个数（从左到右数）为（）．

A .

B .

C .

D .

符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…（2）f（ $\text{[math]}$ ）=2，f（ $\text{[math]}$ ）=3，f（ $\text{[math]}$ ）=4，f（ $\text{[math]}$ ）=5，…利用以上规律计算：f（ $\text{[math]}$ ）﹣f（2011）=．

空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.

将相邻三个面的面积记为S₁、S₂、S₃ ，且S₁＜S₂＜S₃的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S₁所在的面与x轴垂直，S₂所在的面与y轴垂直，S₃所在的面与z轴垂直，如图1所示.

若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1,2,6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.

（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.

②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.

③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.

④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.

⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S₁、S₂、S₃的个数.

（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S_（x,y,z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

几何体有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为 $\text{[math]}$ 的个数	表面上面积为 $\text{[math]}$ 的个数	表面上面积为 $\text{[math]}$ 的个数	表面积
(1，1，1)	1	2	2	2	2S₁+2S₂+2S₃
(1，2，1)	2	4	2	4	4S₁+2S₂+4S₃
(3，1，1)	3	2	6	6	2S₁+6S₂+6S₃
(2，1，2)	4	4	8	4	4S₁+8S₂+4S₃
(1，5，1)	5	10	2	10	10S₁+2S₂+10S₃
(1，2，3)	6	12	6	4	12S₁+6S₂+4S₃
(1，1，7)	7	14	14	2	14S₁+14S₂+2S₃
(2，2，2)	8	8	8	8	8S₁+8S₂+8S₃
…	…	…	…	…	…

根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S_（x,y,z）；（用x、y、z、S₁、S₂、S₃表示）

（4）当S₁=2，S₂=3，S₃=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）

观察下列等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则以上三个等式两边分别相加得： $\text{[math]}$ .

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（1）观察发现
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .
（2）拓展应用
有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在每个分点标上质数m，记2个数的和为 $\text{[math]}$ ；第二次再将两个半圆周都分成 $\text{[math]}$ 圆周 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的 $\text{[math]}$ ，记4个数的和为 $\text{[math]}$ ；第三次将四个 $\text{[math]}$ 圆周分成 $\text{[math]}$ 圆周 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的 $\text{[math]}$ ，记8个数的和为 $\text{[math]}$ ；第四次将八个 $\text{[math]}$ 圆周分成 $\text{[math]}$ 圆周，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 $\text{[math]}$ ，记16个数的和为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 如此进行了n次.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含m、n的代数式表示 $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图放置的△OAB₁ ， △B₁A₁B₂ ， △B₂A₂B₃ ， …都是边长为2的等边三角形，点A在x轴上，点O，B₁ ， B₂ ， B₃ ， …都在正比例函数y=kx的图象l上，则点B₂₀₁₉的坐标是．

一动点 $\text{[math]}$ 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进 $\text{[math]}$ 个单位、后退 $\text{[math]}$ 个单位的程序运动，已知点 $\text{[math]}$ 每秒前进或后退 $\text{[math]}$ 个单位，设 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 秒点 $\text{[math]}$ 在数轴上的位置所对应的数（如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 所对应的数.

按图中规矩摆放三角形，按照摆放规律．第（n）个图形中三角形的个数为（用含n的代数式表示）

已知整数 $\text{[math]}$ …满足下列条件： $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ …依次类推，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1007 B . -1009 C . -1010 D . -2020

如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是6，……，则第2019次输出的结果是（　　）

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A . 1 B . 3 C . 6 D . 8

已知： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；解答下列问题：

（1）计算： $\text{[math]}$ ；
（2）计算： $\text{[math]}$ .

当 $\text{[math]}$ 分别取值 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，1，2， $\text{[math]}$ ，2017，2018，2019时，计算代数式 $\text{[math]}$ 的值，将所得结果相加，其和等于 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 1009 D . 0

如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA₁B₁的斜边OA₁＝2，且OA₁在x轴的正半轴上，点B₁落在第一象限内．将Rt△OA₁B₁绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA₂B₂ ，再将Rt△OA₂B₂绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA₃B₃ ， ……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA₂₀₁₉B₂₀₁₉ ，则点B₂₀₁₉的坐标为．

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杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示 $\text{[math]}$ （此处 $\text{[math]}$ 为自然数）的展开式中各项的系数．

$\text{[math]}$

…

那么 $\text{[math]}$ 展开式中第四项的系数为（）

A . 8 B . 10 C . 18 D . 20

1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”.虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： $\text{[math]}$ ，如果正整数 $\text{[math]}$ 最少经过6步运算可得到1，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 10 B . 32 C . 64 D . 10或64

“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下列算式和图形：

$\text{[math]}$