现实生活中,镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中,对于单种多边形的镶嵌,主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点,提出其中几个问题,共同来探究.
我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如图,用正方形镶嵌平面,可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
试想:如果用正六边形镶嵌平面,在一个顶点周围应该围绕 个正六边形内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案?
问题解决
猜想1:是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?
分析:我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.
验证1:在镶嵌平面时,设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意,可得方程:
,整理得:,
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 .
结论1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由.
上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况,仅仅得到了一部分组合方案,相信同学们用同样的方法,一定会找到其它可能的组合方案.
问题拓广
请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出验证过程.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20捆,并将4500元恰好用完,请你帮助经销商设计进票方案;
(2)若销售A型彩票每捆获手续费20元,B型彩票每捆获手续费30元,C型彩票每捆获手续费50元.在问题(1)设计的购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得的手续费最多,你选择哪种进票方案?
(3)若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆,请你帮助经销商设计一种进票方案.(直接写出答案)
①若老徐在甲店获利600元,则他在乙店获利多少元?
②若老徐希望获得总利润为1000元,则a+b= ▲ .(直接写出答案)
进价(元/千克) |
售价(元/千克) |
|
A种水果 |
5 |
8 |
B种水果 |
9 |
13 |
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取 55 名成人的体重、身高数据组成一个样本, 计算每名成人的 BMI 数值后统计如下.
身体属性 |
人数 |
瘦弱 |
2 |
偏瘦 |
2 |
正常 |
1 |
偏胖 |
9 |
肥胖 |
m |