题目

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求平面PBD与平面BDA的夹角． 答案：解：(1)证明：由题可知，AP、AD、AB两两垂直，则分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)， ∴＝(0,0,3)，＝(2，6,0)，＝(－2，2,0)， ∴·＝0，·＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. (2)显然平面ABD的一个法向量为m＝(0,0,1)，4．如果A÷7=116 …3，那么，A=116×7+3=815．