题目

阅读下面的文字，完成小题。雕楼画栋，水墨丹青，这些蕴含了深厚中国传统文化内涵的元素如何幻化成服装，成为现代人竞相拥抱的时尚符号？中国传统文化里那些神秘而幻化万方的吉祥图案可以变得时髦时尚吗？央视日前开播的一档名为《时尚大师》的节目里，一位年轻设计师给出了自己的答案。这位年轻而时尚的新生代设计师在自己设计的卫衣、T恤和手包里，不仅运用了龙生九子中的螭吻和椒图这两个神兽元素，还加入了我国传统建筑中榫卯已知函数f（x）=-x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当b=0且a＞0时，令F(x)=f(x)，x＜1g(x)-x，x≥1，P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．