13.3.2 等边三角形知识点题库

边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，AB=AC=BC，在△ABC内取一点D，使DB=DC，又作∠ECD=∠ACD，且AC=EC，试问∠BAC与∠E的数量关系如何？请说明理由．

如图,直线 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为2,等腰 △ABC的顶点分别在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，AB=AC，∠BAC=120° ，则等腰三角形的底边长为。

如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D.若 $\text{[math]}$ ，则∠P的大小为度.

如图，在 $\text{[math]}$ 中，将 $\text{[math]}$ 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为（）

A . 12 B . 15 C . 18 D . 21

如图，点 $\text{[math]}$ 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列要求折叠，使弧 $\text{[math]}$ 和弧 $\text{[math]}$ 都经过圆心 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积是.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB.

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（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F.当AC=4时，求EF的长.

如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D，如果CE=12，则ED的长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点，且BD=CE.

（1）如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F.求∠AFB的度数.
（2）如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线则线段CD、AF、CE、之间的数量关系是什么,并加以证明.
（3）在①的条件下，连接FC，如图③，若∠DFC=90°，AF= 3 $\text{[math]}$ ，求BF的长.

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有．

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$

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如图，△ABC中，∠C= 90°，∠B= 30°，将△ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有（）

①△ADE≌△BDE；②DE垂直平分AB；③△ADC是等边三角形；④AE垂直平分CD；⑤BE=2EC；⑥AB= 4CE

A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个

将等边三角形 $\text{[math]}$ 的边绕 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直于直线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的度数为，连接 $\text{[math]}$ ，可求出 $\text{[math]}$ 的值为.
（2）当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，
①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .第一步，在 $\text{[math]}$ 边上找一点 $\text{[math]}$ ，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图3.当点 $\text{[math]}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $\text{[math]}$ 的长为.

如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）

A . 1 B . 2 C . 2 $\text{[math]}$ D . 3

所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使 $\text{[math]}$ ，则称M是完全平方式，如 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是完全平方式.

（1）下列各式中是完全平方式的有.（填写编号）
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$ ⑤ $\text{[math]}$

⑥ $\text{[math]}$
（2）证明：多项式 $\text{[math]}$ 是一个完全平方式.
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足 $\text{[math]}$ ，判定△ABC的形状.

如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）．

A . 3 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

下列命题宜用反证法证明的是（）

A . 等腰三角形两腰上的高相等 B . 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 C . 在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行 D . 全等三角形的面积相等

已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于B、C两点.四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为△ACD内一点，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF，EF，若∠AFE＝30°，则AF²+EF²的值为.

如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F.则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF.其中正确的有 .（填序号）

如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， $\text{[math]}$ ，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，则小路AC的长是（）

A . 20 $\text{[math]}$ m B . 10 $\text{[math]}$ m C . 20m D . 40m

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