13.3.2 等边三角形知识点题库

如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= $\text{[math]}$ +1，求BC的长．

已知△ABC是等边三角形，P为△ABC所在平面内一个动点，BP=BA，若0°﹤∠PBC﹤ 180°，且∠PBC的平分线上一点D满足DB=DA.

（1）当BP和BA重合时(如图1)，则∠BPD=°；
（2）当BP在∠ABC内部时(如图2)，求∠BPD的度数；
（3）当BP在∠ABC外部时，请直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形.

已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长；
（2）如图2，以AD为边作 $\text{[math]}$ ，分别交AB，AC于点E，F．
$\text{[math]}$ 小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有 $\text{[math]}$ ，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD是 $\text{[math]}$ 的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD是 $\text{[math]}$ 的角平分线，构造 $\text{[math]}$ 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明 $\text{[math]}$ 一种方法即可 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系 $\text{[math]}$ 若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

已知：如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，求证：

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（1） △ACE≌△BCD；
（2） △CGB≌△CFA；
（3）求∠AMB；

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则AB的长为（　　）

A . 3 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . 8 D . 10

如图，已知等边三角形ABC边长为2 $\text{[math]}$ ，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC ，则线段OC长的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ 1 B . 3 $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180° 时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”.

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（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”.
①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=DE；

②如图3，当∠BAC=120°，ED=6时，AM的长为.
（2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明.
（3）拓展应用
如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CA= $\text{[math]}$ ，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”.并回答下列问题.

①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为；

②直接写出△PBC的“顶心距”的长为.

如图，将一块含 $\text{[math]}$ 的三角板（ $\text{[math]}$ ）放置在坐标系中，直角顶点与原点 $\text{[math]}$ 重合，另两个顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在反比例函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图像上， $\text{[math]}$ 的值为.

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如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 的延长线分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H．给出下列结论，

①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，

其中正确结论的个数是（）

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A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边上一点，∠DFC＝2∠FCE．

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（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，∠DFC＝60°，BE＝4，则AF＝．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，∠DFC＝90°，BE＝4，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，点E是AB的中点，CE＝12，CF＝13，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝．

图片_x0020_100010

如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 直径，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为4， $\text{[math]}$ ，则弦 $\text{[math]}$ 的长度为．

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB=4，连接OD，则线段OD长度的最大值是（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4 C . 2 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为4，则 $\text{[math]}$ 的长为.

在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则点C到 $\text{[math]}$ 边的距离为.

如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O ， E为BC中点．若AC＝8，∠ACB＝30°，则OE的长为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 4 $\text{[math]}$

如图，四边形ABCD为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是．

如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，固定 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点C旋转任意角度，连接AD，BE，设AD，BE所在的直线交于点O，则在旋转过程中，始终有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的大小保持不变，这时点O到直线AB的最大距离为．

如图，在边长为1的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点E在 $\text{[math]}$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D从点C出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 $\text{[math]}$ ．过点D作 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）四边形 $\text{[math]}$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）直接写出当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形．

13.3.2 等边三角形 知识点题库

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