1.3 解直角三角形知识点题库

某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

如图，△ABC中，AB=AC=4 $\text{[math]}$ ，cosC= $\text{[math]}$

（1）动手操作：

利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，

①连接AE，CD，线段AE，CD交于点F，求证：EC²=EF•AE；
②求点D到AC的距离．

如图，某数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端点A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进12米，到达点D处（C，D，B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端点A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度．（结果保留根号）

在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为（参考等式： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ）（）

A . 25 $\text{[math]}$ +75 B . 50 $\text{[math]}$ +50 C . 75 $\text{[math]}$ +75 D . 50 $\text{[math]}$ +100

如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．

一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中书架方格长BF=40cm，书的长度AB=20cm，设一本书的厚度为xcm．

（1）如图1左边三本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为C，E，最右侧书一个角正好靠在方格内侧上，若CG=4cm，求EF的长度；
（2）如图2左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为C，E，最右侧书的下面两个角正好靠在方格内上，若∠DCE=30°，求x的值（保留一位小数）．（参考数据： $\text{[math]}$ =1.414， $\text{[math]}$ =1.732）

如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°.

（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果保留根号）.

如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH，得到了三棱锥S﹣DPQ.若∠SPD＝45°，∠SQD＝37°，PQ＝1，求SD的长.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75.）

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝.

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如图，某人在山坡坡脚 $\text{[math]}$ 处测得一座建筑物顶点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，沿山坡向上走到 $\text{[math]}$ 处再测得该建筑物顶点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，山坡坡度为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）.注：取 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .

（1）求该建筑物的高度（即 $\text{[math]}$ 的长）.
（2）求此人所在位置点 $\text{[math]}$ 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计）.
（3）若某一时刻， $\text{[math]}$ 米长木棒竖放时，在太阳光线下的水平影长是 $\text{[math]}$ 米，则同一时刻该座建筑物顶点 $\text{[math]}$ 投影与山坡上点 $\text{[math]}$ 重合，求点 $\text{[math]}$ 到该座建筑物的水平距离.

点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”.如图1-①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E、F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”.

（1）如图1-②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为m.
（2）矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四壁都是垂直于地面的平面.在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE、PF与被投射面相交于点E、F，PF在PE关于点P的逆时针方向上.
①如图1-③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；

②如图1-④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由.

图1是某个零件横截面的示意图，已知AB=CD，∠B=∠C，为了求出BC的长度，小王将宽度为2cm的直尺按图2、图3、图4的三种方式摆放，所测得的具体数据(单位：cm)如图所示，则AB=cm，BC=cm。

图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE ，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE ．现已知AB=2.50米，CA=1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

小明在A点测得C点在A点的北偏西 $\text{[math]}$ 方向，并由A点向南偏西 $\text{[math]}$ 方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西 $\text{[math]}$ 方向，继续向正西方向行走 $\text{[math]}$ 后到达D点，测得C点在D点的北偏东 $\text{[math]}$ 方向，求 $\text{[math]}$ 两点之间的距离．（结果保留 $\text{[math]}$ ，参数数据 $\text{[math]}$ ）

如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 cm.

如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，且 $\text{[math]}$ ，连接BE交AC于点F，已知BA＝BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AF＝6， $\text{[math]}$ ，求⊙O的直径．

为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）

A . 90cm B . 86cm C . 82cm D . 80cm

小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．

参考数据：sin22°≈ $\text{[math]}$ ， cos22°≈ $\text{[math]}$ ， tan22°≈ $\text{[math]}$ ， sin67°≈ $\text{[math]}$ ， cos67°≈ $\text{[math]}$ ， tan67°≈ $\text{[math]}$ ．