2.3函数建模案例知识点题库

如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）

A . 0.28J B . 0.12J C . 0.26J D . 0.18J

某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（ $\text{[math]}$ ）²km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？

如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）

A . 第3分时汽车的速度是40千米/时 B . 第12分时汽车的速度是0千米/时 C . 从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D . 从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时

某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣ $\text{[math]}$ x²（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．

（1）将利润表示为产量的函数；
（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．（以上三式中、 $\text{[math]}$ 均为常数，且 $\text{[math]}$ ）

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出所选函数 $\text{[math]}$ 的解析式（注：函数定义域是 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ 表示8月1日， $\text{[math]}$ 表示9月1日，…，以此类推）；
（3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

“2019年”是一个重要的时间节点——中华人民共和国成立70周年，和全面建成小康社会的关键之年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就.趁此良机，李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”，每本纪念册进价4元，物流费、管理费共为 $\text{[math]}$ 元/本，预计当每本纪念册的售价为 $\text{[math]}$ 元（ $\text{[math]}$ 时，月销售量为 $\text{[math]}$ 千本.

（I）求月利润 $\text{[math]}$ （千元）与每本纪念册的售价X的函数关系式，并注明定义域：

（II）当 $\text{[math]}$ 为何值时，月利润 $\text{[math]}$ 最大？并求出最大月利润.

2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：

2019年1月1日后个人所得税税率表

全月应纳税所得额	税率（%）
不超过3000元的部分	3
超过3000元至12000元的部分	10
超过12000元至25000元的部分	20
超过25000元至35000元的部分	25

个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是元.

某蔬菜批发商经销某种新鲜蔬菜（以下简称 $\text{[math]}$ 蔬菜），购入价为200元/袋，并以300元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的 $\text{[math]}$ 蔬菜没有售完，则批发商将没售完的 $\text{[math]}$ 蔬菜以150元/袋的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把 $\text{[math]}$ 蔬菜低价处理完，且当天不再购进）.该蔬菜批发商根据往年的销量，统计了100天 $\text{[math]}$ 蔬菜在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图.

（1）若某天该蔬菜批发商共购入6袋 $\text{[math]}$ 蔬菜，有4袋 $\text{[math]}$ 蔬菜在前8小时内分别被4名顾客购买，剩下2袋在8小时后被另2名顾客购买.现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则至少选中1人是以150元/袋的价格购买的概率是多少？
（2）以上述样本数据作为决策的依据.
（i）若今年 $\text{[math]}$ 蔬菜上市的100天内，该蔬菜批发商坚持每天购进6袋 $\text{[math]}$ 蔬菜，试估计该蔬菜批发商经销 $\text{[math]}$ 蔬菜的总盈利值；

（ii）若明年该蔬菜批发商每天购进 $\text{[math]}$ 蔬菜的袋数相同，试帮其设计明年的 $\text{[math]}$ 蔬菜的进货方案，使其所获取的平均利润最大.

某种放射性元素的原子数 $\text{[math]}$ 随时间 $\text{[math]}$ 的变化规律是 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正的常数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度 $\text{[math]}$ （单位：毫克/立方米）随着时间 $\text{[math]}$ 单位：天）变化的函数关系式，近似为

$\text{[math]}$ ,若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再唢洒 $\text{[math]}$ 个单位的去污剂，要使接来的4天中能够持续有效去污，试求 $\text{[math]}$ 的最小值（精确到0.1，参考数据: $\text{[math]}$ 取1.4）.

两次购买同一物品，可以用两种不同的策略，第一种不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品数量一定.设第一种方式购买的平均价格为a元，第二种方式购买的平均价格为b元，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 $\text{[math]}$ ，四周空白的宽度为 $\text{[math]}$ ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 $\text{[math]}$ ，怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；

图片_x0020_100005

沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花节.2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米.

图片_x0020_100002

（1）设所用隔离带的总长度为 $\text{[math]}$ 米，垂直于墙的边长为 $\text{[math]}$ 米.试将 $\text{[math]}$ 表示成 $\text{[math]}$ 的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？

小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.

图片_x0020_100012

（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 $\text{[math]}$ 时，日平均派送量为 $\text{[math]}$ 单．若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

②根据以上数据，设每名派送员的日薪为 $\text{[math]}$ （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.

某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量 $\text{[math]}$ 与促销费t之间的关系为 $\text{[math]}$ (其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.

（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？
（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为 $\text{[math]}$ (元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？

某种物资实行阶梯价格制度，具体见下表：

阶梯	年用量(千克)	价格(元/千克)
第一阶梯	不超过10的部分	6
第二阶梯	超过10而不超过20的部分	8
第三阶梯	超过20的部分	10

则一户居民使用该物资的年花费y(元)关于年用量x(千克)的函数关系式为；若某户居民使用该物资的年花费为100(元)，则该户居民的年用量为千克.

某企业自主开发出一款新产品A ，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产品，需另投入生产成本 $\text{[math]}$ （千元），且 $\text{[math]}$

（1）求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）
（2）该企业欲使生产一件A产品的平均成本 $\text{[math]}$ 元，求其年生产址x（千件）的取值区间？

张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元及以上，顾客就少付 $\text{[math]}$ 元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%．

（1）若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，试求x的值．
（2）在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，试求x的最大值．

某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10立方米）

（1）求该博物馆需支付保护这件文物的总费用 $\text{[math]}$ 与保护罩容积 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
（2）求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.

某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长。假设在该传染病流行初期的感染人数为P₀ ，且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下，n天后感染此疾病的总人数P_n可以表示为P_n=P₀(1+r)ⁿ ，其中P₀≥1且r>0。已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍，则 $\text{[math]}$ 的值是( )

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

2.3函数建模案例 知识点题库

2.3函数建模案例知识点题库