某长方形纸片的长是15㎝,长,宽上各剪去两个宽为3㎝的长条,剩下的面积是原长方形面积的。求原长方形纸片的面积。
问题探究:
我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法.
探究一
用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数.
如图①,当m=1,n=1时,横放木棒为1×(1+1)条,纵放木棒为(1+1)×1条,共需4条;
如图②,当m=2,n=1时,横放木棒为2×(1+1)条,纵放木棒为(2+1)×1条,共需7条;
如图③,当m=2,n=2时,横放木棒为2×(2+1))条,纵放木棒为(2+1)×2条,共需12条;如图④,当m=3,n=1时,横放木棒为3×(1+1)条,纵放木棒为(3+1)×1条,共需10条;
如图⑤,当m=3,n=2时,横放木棒为3×(2+1)条,纵放木棒为(3+1)×2条,共需17条.
问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒条.
问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为条,
纵放的木棒为条.
探究二
用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数.
如图⑥,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×1=12条,共需46条;
如图⑦,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×2=24条,共需75条;
如图⑧,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为[3×(2+1)+(3+1)×2]×(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)×(2+1)×3=36条,共需104条.
问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为条,竖放木棒条数为条.
实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是.
拓展应用:若按照如图2方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒条.
定义:当点C在线段AB上,AC=nAB时,我们称n为点C在线段AB上的点值,记作dC﹣AB=n.理解:如点C是AB的中点时,即AC= AB,则dC﹣AB= ;反过来,当dC﹣AB= 时,则有AC= AB.因此,我们可以这样理解:dC﹣AB=n与AC=nAB具有相同的含义.
应用:
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s,试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB , 并判断它们的数量关系;
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s,点Q到达点A后立即以原速返回,则当t为何值时,dP﹣AB+dQ﹣AB= ?
拓展:如图2,在三角形ABC中,AB=AC=12,BC=8,点P、Q同时从点A出发,点P沿线段AB匀速运动到点B,点Q沿线段AC,CB匀速运动至点B.且点P、Q同时到达点B,设dP﹣AB=n,当点Q运动到线段CB上时,请用含n的式子表示dQ﹣CB.
如图①,已知 ,在 内部画射线 ,得到三个角,分别为 、 、 .若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线 为 的“幸运线”.(本题中所研究的角都是大于 而小于 的角.)
角的平分线这个角的“幸运线”;(填“是”或“不是”)
如图①, ,射线 为 的“幸运线”,则 的度数为;
如图②,已知 ,射线 从 出发,以每秒 的速度绕 点逆时针旋转,同时,射线 从 出发,以每秒 的速度绕 点逆时针旋转,设运动的时间为 秒( ).若 、 、 三条射线中,一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”,求出所有可能的 值.
①若点 表示的数为 ,请说明点 是 的三倍点;
②若点 表示的数为 ,则点 是[ ▲ ]的三倍点(数轴上不再添加其它点);
如图1所示,线段 的长度可表示为: , 于是他归纳出这样的结论:如果点A表示的数为a,点B表示的数为b,当 时, (较大数一较小数).
①如图2所示,计算: , ;
②把一条数轴在数m对应的点处对折,使表示-20和2020两数的点恰好互相重合,求数m的值;
①如图3所示,点P表示数x,点M表示数 , 点N表示数 , 且 , 求出点P和点N分别表示的数;
②在上述①的条件下,是否存在点Q,使 ?若存在,请直接写出点Q所表示的数;若不存在,请说明理由.
①若(1)中的x的值也是关于x的一元一次方程 x﹣3=5x﹣p的解,那么关于y的一元一次方程 (y﹣8)﹣3=5(y﹣8)﹣p的解为y= ▲ .
②在如图所示的“幻方”中,每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等,现将①中的x,y填入如图所示的位置,则(a﹣b)+(d﹣c)的值为多少?