二次函数与一次函数的综合应用知识点题库

已知关于x的一元二次方程x²+2x+ $\text{[math]}$ =0有两个不相等的实数根，k为正整数．

（1）求k的值
（2）
当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+ $\text{[math]}$ 的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标.
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y= $\text{[math]}$ x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

如图，已知二次函数y=ax²+ $\text{[math]}$ 的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连AB，AC，点N在线段BC上运动（不与点B，C重合）过点N作NM∥AC，交AB于点M．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与以点A，B，O为顶点的三角形相似时，求点N的坐标；
（3）当△AMN面积等于3时，直接写出此时点N的坐标．

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y= $\text{[math]}$ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=﹣ $\text{[math]}$ ，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．

（1）求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax²+bx+c过A（1，0），B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A（0，2）和B（1， $\text{[math]}$ ）．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且点D的横坐标为4，求点C与点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）记为图象G，如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y 轴的交点为点D，顶点为C，

（1）写出该抛物线的对称轴方程；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的两个交点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则关于x的方程 $\text{[math]}$ 的解为.

如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），一次函数y₂=mx+n的图象过点A、C．

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（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（3）根据图象写出y₂＜y₁时，x的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²﹣x交于A、B两点.

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（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点P在抛物线上，当k＝﹣ $\text{[math]}$ 时，解决下列问题：
①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；

②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标.

如（图1），已知经过原点的抛物线y＝ax²+bx与x轴交于另一点A( $\text{[math]}$ ，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)

（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线OB下方的抛物线上有一点C，点C到直线OB的距离为 $\text{[math]}$ ，求点C的坐标；
（3）如（图2），若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

如图,抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点,点C为y轴上点,当 $\text{[math]}$ 周长最短时;周长的值为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，抛物线y₁=a(x-1)²+4与x轴交于A(-1，0)。

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）一次函数y₂=x+1的图象与抛物线相交于A， C两点，过点C作CB垂直于x轴于点B，求△ABC的面积。

如图，二次函数的图象与x轴相交于A(−3，0)、B(1，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)，点C.D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.

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（1） D点坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围；

已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ $\text{[math]}$ x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.

（1）直接写出点A和点B的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3） D为直线AB上方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标

②是否存在点D，使得 $\text{[math]}$ DBA的度数恰好是 $\text{[math]}$ BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由.

如图1，已知抛物线y＝ax²经过点（﹣2，1）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝ $\text{[math]}$ x+2交抛物线于点C、D，点P是直线CD下方的抛物线上一动点，若S_△PCD最大，求此时点P的坐标，并求出S_△PCD的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值.

如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），

（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；
（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；
（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；
（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ （m是常数）．

（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；
（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为1，直接写出m的取值范围；
（3）如果点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

如图，抛物线y＝ax²+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC.

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线y＝ax²+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F.设点D的横坐标为m.
①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当 $\text{[math]}$ 时点D的坐标.

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