线段垂直平分线的判定知识点题库

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

（1）判断AC与图中的那条线段相等，并证明你的结论；
（2）若CE的长为 $\text{[math]}$ ，求BG的长．

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：

证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

∴ $\text{[math]}$ ．（依据1）

∵BE=AB，∴ $\text{[math]}$ ．∴EM=DM．

即AM是△ADE的DE边上的中线，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1） ①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC．

（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．

如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（）

A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个

已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE．小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（）

A . 到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B . 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C . 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D . 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC=35°，则∠OED的度数为（　　）

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A . 10° B . 20° C . 30° D . 35°

△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ.求证：PQ＝ $\text{[math]}$ BD.

（1）如图1，理清思路，完成解答：
本题证明的思路可以用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；
（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ＝ $\text{[math]}$ ，求PF的长.
（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系.

到三角形三个顶点距离相等的点是（）

A . 三条角平分线的交点 B . 三边中线的交点 C . 三边上高所在直线的交点 D . 三边的垂直平分线的交点

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，BE平分 $\text{[math]}$ ，AM $\text{[math]}$ BC于点M，AD平分 $\text{[math]}$ ，交BC于点D，AM交BE于点G．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）判断直线BE是否垂直平分线段AD，并说明理由．

如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝DF.求证：AD垂直平分EF.

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综合与探究

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1，△ABC≌△DEF，AB＝AC，DE＝DF．

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（1） [探究一]
勤奋小组的同学把这两张纸片按如图2的方式摆放，点A与点D重合，连接BE和CF．他们发现BE与CF之间存在着一定的数量关系，这个关系是．
（2） [探究二]创新小组的同学在勤奋小组的启发下，把这两张纸片按如图3的方式摆放，点F，A，D，C在同一直线上，连接BF和CE，他们发现了BF和CE之间的数量和位置关系，请写出这些关系并说明理由；
（3） [探究三]从A，B两题中任选一题作答．解答时用尺规作△DEF，不写作法，保留作图痕迹．
A．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形写出一个数学结论．

B．如图4，利用△ABC纸片拼摆出一种与图2和图3都不相同的图形，并根据图形提出一个数学问题并解答．

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别以点A，点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，两弧在第一象限交于点C.则点C的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图

（1）如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂ ，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC.求证：直线l₁垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

如图，点E是 $\text{[math]}$ 平分线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别是C、D，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点F，

求证：

（1） $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线.

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；
（2）求证： $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ；
（3）如图2，若 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿射线 $\text{[math]}$ 向右平移，得到 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时停止移动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，在这个运动过程中，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，问 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ .

如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得 $\text{[math]}$ ．

小欣的作法如下：

①以点B为圆心，BC长为半径作弧；

②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；

③作直线CD．

则直线CD即为所求．

（1）根据小欣的作图过程补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AC，AD，BC，BD．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴点B在线段CD的垂直平分线上．（ ▲ ）（填推理的依据）
∵ $\text{[math]}$ ▲ ，
∴点A在线段CD的垂直平分线上．
∴直线AB为线段CD的垂直平分线．
∴ $\text{[math]}$ ．

如图，点P在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， PA平分 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的数量关系是.

下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．

已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．

作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点P；

③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．

试结合小华设计的尺规作图过程，说明AD为什么是△ABC的高．

如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．

（1）求证：OC＝OD；
（2）求证：OP是CD的垂直平分线．

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