数学思想知识点题库

若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 49！ C . 2450 D . 2！

如图，在Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=20，BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度.

（1）当t=2时，求CD、AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；
（3）当t为何值时，△CBD是等腰三角形，请直接写出t的值.

（1）化简或计算下列两题：
①已知x²-5=2y，求-5（x²-2xy）+（2x²-10xy）+6y的值。

②已知x=2是关于x的一元一次方程（3a-1）x=2b+4的解，求6-3a+b的值。
（2）写出上述①、②题共同体现的数学思想。

如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6 $\text{[math]}$ ，以点O为圆心，以2为半径作优弧 $\text{[math]}$ ，交AO于点D ，交BO于点E ．点M在优弧 $\text{[math]}$ 上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM ．

（1）当AM＝4 $\text{[math]}$ 时，判断AM与优弧 $\text{[math]}$ 的位置关系，并加以证明；
（2）当MO∥AB时，求点M在优弧 $\text{[math]}$ 上移动的路线长及线段AM的长；
（3）连接BM ，设△ABM的面积为S ，直接写出S的取值范围．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的度数为度．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，与轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标和 $\text{[math]}$ 的值．
（3）点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的值最小．并求出这个最小值．
（4）点 $\text{[math]}$ 关于轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=90⁰ ， NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动．设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．

“已知：正比例函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 图象相交于 $\text{[math]}$ 两点，其横坐标分别是 1 和﹣1，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集．”对于这道题，某同学是这样解答的：“由图象可知：当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，所以不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ”．他这种解决问题的思路体现的数学思想方法是( )

A . 数形结合 B . 转化 C . 类比 D . 分类讨论

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 为一、三象限角平分线，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点称为 $\text{[math]}$ 的一次反射点，记作 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点称为点 $\text{[math]}$ 的二次反射点，记作 $\text{[math]}$ ．

例如，点 $\text{[math]}$ 的一次反射点为 $\text{[math]}$ ，二次反射点为 $\text{[math]}$ ．

根据定义，回答下列问题：

（1）点 $\text{[math]}$ 的一次反射点为，二次反射点为；
（2）当点 $\text{[math]}$ 在第一象限时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中可以是点 $\text{[math]}$ 的二次反射点的是；
（3）若点 $\text{[math]}$ 在第二象限，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ 的一次、二次反射点， $\text{[math]}$ 为等边三角形，求射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所夹锐角的度数．
（4）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ 的一次、二次反射点， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的位置．

在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（m ， 7），三角形ABC的面积为14，则m的值为．

在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍 $\text{[math]}$ ，图书馆离宿舍 $\text{[math]}$ ．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了 $\text{[math]}$ 到食堂；在食堂停留 $\text{[math]}$ 吃早餐后，匀速走了 $\text{[math]}$ 到图书馆；在图书馆停留 $\text{[math]}$ 借书后，匀速走了 $\text{[math]}$ 返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离 $\text{[math]}$ 与离开宿舍的时间 $\text{[math]}$ 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填表：

离开宿舍的时间/ $\text{[math]}$

2

5

20

23

30

离宿舍的距离/ $\text{[math]}$

0.2

0.7
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 $\text{[math]}$ ．

②小亮从食堂到图书馆的速度为 $\text{[math]}$ ．

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为 $\text{[math]}$ ．

④当小亮离宿舍的距离为 $\text{[math]}$ 时，他离开宿舍的时间为 $\text{[math]}$ ．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出y关于x的函数解析式．

当 $\text{[math]}$ 时，反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的最大值与最小值之差是1，则 $\text{[math]}$ 的值是.

数轴上到-3的距离等于3的数是 .

三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．

数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．

A . 整体 B . 方程 C . 转化 D . 数形结合

先阅读下面例题的解题过程，再解答后面的题目.

例：已知代数式 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

因此 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =8

题目：已知代数式 $\text{[math]}$ 的值是－2，求 $\text{[math]}$ 的值.

等腰三角形一腰上的中线把周长分为9cm和21cm的两部分，则这个等腰三角形的底边长是（）

A . 2cm B . 14cm C . 18cm D . 2cm或18cm

阅读材料，回答下列问题：

阿尔·花拉子米（约780 $\text{[math]}$ 约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个解．

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x ，宽为1，拼合在一起面积就是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，而由原方程 $\text{[math]}$ 变形得 $\text{[math]}$ ，即边长为 $\text{[math]}$ 的正方形面积为36．所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的__________．

A . 直接开平方法 B . 公式法 C . 配方法 D . 因式分解法
（2）所用的数学思想方法是_______．

A . 分类讨论思想 B . 数形结合思想 C . 转化思想
（3）山西特产专卖店销售的某品牌枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售时，平均每天售出200袋，由于货源紧缺，现要涨价销售，经过市场调查发现，单价每上涨1元，则平均每天的销售会减少10袋，若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，售价为x元，请求出y与x的函数解析式，再利用（1）的方法求出x是多少时，y最大，最大是多少？

在下面四个问题的解决过程中都运用了什么策略？（）

⑴用如图①所示的方法推导三角形面积的计算过程；（2）计算 $\text{[math]}$ 时，可以这样算： $\text{[math]}$ ；（3）用如图②所示的方法推导圆的面积计算公式的过程；（4）计算 $\text{[math]}$ 时，先看 $\text{[math]}$ ，再在积中添上小数点儿．

A . 列表 B . 列举 C . 转化 D . 倒推

我们定义一种新函数：形如 $\text{[math]}$ （a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）

①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

离开宿舍的时间/ $\text{[math]}$	2	5	20	23	30
离宿舍的距离/ $\text{[math]}$	0.2		0.7

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