平方差公式的几何背景 知识点题库

（1） 将左图剪切拼成右图，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）．

（2） 运用你所得到的乘法公式，计算：（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）．

（1） 如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）

（2） 小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．

（3） 比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（用式子表达）

（4） 运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．

（1） 请用至少两种方法求出图中阴影部分的面积；

（2） 由面积相等，你发现了怎样的等量关系？

（1） 请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³＝3²？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝1³

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝2³而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1³+2³＝（1+2）²＝3²

（2） 请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³＝．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

（3） 问题拓广：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³＝．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

（1） 观察图1、图2，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式是；

（2） 如果大正方形的边长 比小正方形的边长 多3，它们的面积相差57，试利用（1）中的公式，求 ， 的值.

（1） 设图1中阴影部分面积为S₁ ， 图2中阴影部分面积为S₂ ， 请用含a，b的代数式示：S₁= ，S₂= （只需表示，不必化简）；

（2） 以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；

（3） 运用（2）中得到的公式，计算：2018²-2019×2017.

（1） 将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是．

（2） 将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（a﹣b）（）＝a²+ab﹣．

（3） 若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：（x﹣y）[（x+2y）⁴÷（x+2y）³]；

（4） 图③甲是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是．

（5） 观察图③乙，请你写出三个代数式（a+b）²（a﹣b）² ， ab之间的等量关系是．根据（5）中等量关系解决如下问题：若m+n＝﹣7，mn＝3.25，求m﹣n的值．

（1） 请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？（直接写出公式）

（2） 试利用这个公式计算：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．直接写出计算结果．

（3） 若图（1）中的阴影部分的面积是16，a﹣b＝2，直接写出a⁴﹣b⁴的值．

（1） 上述操作能验证的等式是____；（请选择正确的一个）

（2） 请应用这个公式完成下列各题：

①已知 ， ， 则            ▲        ．

②计算：

（1） 上述操作能验证的等式是；

（2） 应用（1）中的等式，完成下列各题：

①已知 ， ， 求的值．

②计算： ．

（1） 如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）

（2） 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．

（3） 运用你所得到的公式，计算下列各题：

①

②

（1） 请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式.

图1：；图2：；图3：.

（2） 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题.

例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a²+b²的值.

方法一：从“数”的角度

解：∵a+b＝3，

∴（a+b）²＝9，即：a²+2ab+b²＝9，

又∵ab＝1

∴a²+b²＝7.

方法二：从“形”的角度

解：∵a+b＝3，

∴S_大正方形=9，

又∵ab＝1，

∴S₂＝S₃＝ab＝1，

∴S₁+S₄＝S_大正方形﹣S₂﹣S₃＝9﹣1﹣1＝7.即a²+b²＝7.

若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）²+（x﹣1）²＝；

（3） 如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S₁+S₂＝72，求图中阴影部分面积.