求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
①若t=1,当旋转角为30°、、、、210°、时这支铅笔与线段AB、AC共围成6个等腰三角形;
②当这支铅笔与线段AB、AC正好围成5个等腰三角形时,求t的取值范围;
③当这支铅笔与线段AB、AC正好围成3个等腰三角形时,直接写出t的取值范围.
①当点E落在抛物线上(不与点C重合),且 时,求点F的坐标;
②取 的中点N , 当m为何值时, 的最小值是 ?
转化思想是常用的数学思想之一.在研究新问题或复杂问题时,常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决.如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的;解分式方程是转化为整式方程来解决的.由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.
利用转化思想,我们还可以解一些新的方程,如无理方程(根号下含有未知数的方程).解无理方程关键是要去掉根号,可以将方程适当变形后两边同时平方,将其转化为整式方程.由于“去根号”可能产生增根,所以解无理方程也必须检验.
例如:解方程
解:两边平方得:
解得: ,
经检验, 是原方程的根,
代入原方程中不合理,是原方程的增根.
∴原方程的根是 .
解决问题:
小锐同学根据学习函数的经验,分别对函数 , 随自变量 变化而变化的规律进行了探究.
下面是小锐同学的探究过程,请补充完整:
cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
cm | 8.00 | 5.81 | 4.38 | 3.35 | 2.55 | 1.85 | 1.21 | 0.60 | 0.00 |
cm | 0.00 | 0.90 |
| 2.24 | 2.67 | 2.89 | 2.83 | 2.34 | 0.00 |
上表中 .(精确到0.1)
①当 , 的长都大于 时, 长度的取值范围约是 ▲ ;(精确到0.1)
②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,判断点 , , 能否在以 为圆心的同一个圆上?(填“能”或“否”)
解:设 ,则原方程变为 ,整理得 ,即 ,∴ .
∵ ,∴ .
上面这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容,解决下列问题,并写出解答过程.
三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以 为例,说明如下: 将方程 变形为 , 然后画四个长为 , 宽为x的矩形,按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为 , 还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即: , 可得新方程: , ∵x表示边长, ∴ . ∴ . |
任务一:①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 ;
A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.演绎思想 D.公理化思想
②用配方法解方程: .
任务二:比较上述两种解一元二次方程的方法,请反思利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是 . (写出一条即可)