数学思想知识点题库

在△ABC中，AB=AC ， AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为．

已知实数m是一个不等于2的常数，解不等式组 $\text{[math]}$ ，并根据m的取值情况写出其解集．

已知关于x的一元二次方程x²+ax+nb＝0（1≤n≤3，n为整数），其中a是从2、4、6三个数中任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件A_n（n＝1，2，3），当A_n的概率最小时，n的所有可能值为．

若方程x²﹣4x+3＝0的两根是等腰三角形的底和腰，则它的周长为．

如图，已知在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿着过矩形顶点的一条直线将 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在矩形的 $\text{[math]}$ 边上，则折痕的长为．

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若五个整数由小到大排列后，中位数为4，唯一的众数为2，则这组数据之和的最小值是．

下面是某同学对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程：

解：设 $\text{[math]}$

原式 $\text{[math]}$ （第一步）

$\text{[math]}$ （第二步）

$\text{[math]}$ （第三步）

$\text{[math]}$ （第四步）

请问：

（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为；
（2）请你模仿上述方法，对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解.

如图①, 已知抛物线y = ax²－2ax －8a与x轴相交于A, B两点( 点A在点B的左侧 ), 与y轴交于点C ( 0, －4 ), P是线段BC下方抛物线上的一个动点.

（1）求点A, B的坐标及抛物线y = ax²－2ax －8a的解析式；
（2）如果在x轴上存在点Q, 使得以B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标；
（3）如图②, 过点P作PE∥CA交线段BC于点E, 过点P作直线x = t交BC于点F, 交x轴于点G, 记PE = f, 求f关于t的函数解析式；当t取b和4－ $\text{[math]}$ b ( 0 < b < 2 ) 时, 试比较f的对应函数值f₁和f₂的大小.

某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工后再卖，对产品进行精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．

加工方式	加工成本	销售单位	售价
直接卖	0	个	2元/个
粗加工	1元/个	包装袋（一袋5个）	30元/袋
精加工	2.5元/个	礼盒（一盒10个）	85元/盒

假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是．

方案一：不加工直接销售；

方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；

方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；

方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ， M ， N均在格点上.在线段 $\text{[math]}$ 上有一动点B ，以 $\text{[math]}$ 为直角边在 $\text{[math]}$ 的右侧作等腰直角 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，G是一个小正方形边的中点.

（1）当点B的位置满足 $\text{[math]}$ 时，求此时 $\text{[math]}$ 的长；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点C ，使其满足线段 $\text{[math]}$ 最短，并简要说明点C的位置是如何找到的（不要求证明）．

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

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（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使 $\text{[math]}$ ，请求出点D的坐标；
（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．

在学习“有理数加法“时，我们利用“(+5)+(+3)=+8，(-5)+(-3)=-8，……”抽象归纳推出了“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”的加法法则．这种推导方法叫( )

A . 排除法 B . 归纳法 C . 类比法 D . 数形结合法

已知等腰三角形的两边长分别为 $\text{[math]}$ ，则该三角形的周长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x³+x²-2x=0，可以通过因式分解把它转化为 $\text{[math]}$ ，解方程x=0和x²+x-2=0，可得方程x³+x²-2x=0的解.

（1）问题：方程 $\text{[math]}$ 的解是： $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ = ， $\text{[math]}$ =；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 $\text{[math]}$ 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长.

阅读下列材料，并完成相应任务．

小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：

如图1，已知：三角形 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ ．

证法一：如图2，过点A作直线DE∥BC ，

∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，

即三角形内角和是 $\text{[math]}$ ．

证法二：如图3，延长 $\text{[math]}$ 至M，过点C作CN∥AB ，

…

（1）任务：（1）证法一的思路是用平行线的性质得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是 $\text{[math]}$ ，这种方法主要体现的数学思想是（将正确选项代码填入空格处）

A ．数形结合思想，B ．分类思想，C ．转化思想，D ．方程思想
（2）将证法二补充完整．

阅读下列材料，并完成相应学习任务：

一元二次方程在几何作图中的应用

如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，求作一个矩形，使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

因为矩形ABCD的周长是14，面积是12，所以所求作的矩形周长是28，面积是24

若设所求作的矩形一边的长为x，则与其相邻的一边长为14﹣x，所以，得x（14﹣x）＝24，解得x₁＝2，x₂＝12

当x＝2时，14﹣x＝12；当x＝12时，14﹣x＝2，所以求作的矩形相邻两边长分别是2和12

如图2，在边AB的延长线取点G，使得AG＝4AB．在AD上取AE＝ $\text{[math]}$ AD，以AG和AE为邻边作出矩形AGFE，则矩形AGFE的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍．

学习任务：

（1）在作出矩形AGFE的过程中，主要体现的数学思想是___________；（填出序号即可）

A . 转化思想； B . 数形结合思想； C . 分类讨论思想； D . 归纳思想
（2）是否存在一个矩形，使其周长与面积分别是矩形ABCD的周长和面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，请在图1中作出符合条件的矩形；若不存在，请说明理由．

已知方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ．则方程组 $\text{[math]}$ 的解是．

我们在解二元一次方程组 $\text{[math]}$ 时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得 $\text{[math]}$ ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（）

A . 转化思想 B . 分类讨论思想 C . 数形结合思想 D . 公理化思想

数学课上，老师在组织同学们探索多边形的内角和公式时，同学们提出了将此问题转化为已学的三角形内角和知识进行探索的思路．如图是四名同学探索多边形内角和公式时运用的不同的分割方法，将多边形转化为多个三角形，并得出了相同的结论．这四名同学在探索过程中主要体现的数学思想是（）

A . 建模思想 B . 分类讨论思想 C . 数形结合思想 D . 转化思想

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