数学思想知识点题库

分类是研究问题的一种常用方法，我们在学习有理数和代数式的相关概念、运算法则时，除了学到了具体知识，还学会了分类思考，在进行分类时，我们首先应明确分类标准，其次要做到分类时既不重复，也不遗漏。

（1）【初步感受】
在对多项式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 进行分类时，如果以项数作为分类标准，可以分为哪几类？如果以次数作为分类标准，可以分为哪几类？
（2）【简单运用】
已知 a, b 是有理数，比较 (a + b) 与 (a - b)的大小；
（3）【深入思考】
已知 a, b c 是有理数，且 c(a + b)＞c(a - b) ，判断 b, c 的符号，并说明理由。

为比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则由的股定理可求得其斜边长为 $\text{[math]}$ .根据“三角形三边关系”，可得 $\text{[math]}$ .小亮的这一做法体现的数学思想是( )

A . 分类讨论思想 B . 方程思想 C . 类比思想 D . 数形结合思想

如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．

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（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？
（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？

将两边长分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的矩形以其一边所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体的侧面积是 $\text{[math]}$ .

如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A ，交y轴正半轴于点B ，且AB＝2

（1）求k的值；
（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q ，连接OP ，设△PQO的面积为S ，点P运动时间为t ，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝ $\text{[math]}$ （BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．

M（﹣1，﹣ $\text{[math]}$ ），N（1，﹣ $\text{[math]}$ ）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．

（1）在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，A₄（2，2）中，线段MN的可视点为；
（2）若点B是直线y＝x+ $\text{[math]}$ 上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．

如图， $\text{[math]}$ 是直径AB所对的半圆弧，C $\text{[math]}$ 上一定点，D是 $\text{[math]}$ 上一动点，连接DA，DB，DC．已知AB＝5cm，设D，A两点间的距离为xcm，D，B两点间的距离为y₁cm，D，C两点间的距离为y₂cm．

小腾根据学习函数的经验．分别对函数y₁ ， y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁ ， y₂与x的几组对应值；

x/cm	0	1	2	3	4	5
y₁cm	5	4.9		4	3	0
y₂cm	4	3.32	2.47	1.4	0	3

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数位所对应的点（x，y₁），（x，y₂）并画出函数y₁ ， y₂的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接BC，当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，DA的长度约为cm．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）已知点 $\text{[math]}$ ，过点P作平行于x轴的直线，交直线 $\text{[math]}$ 于点C ，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点D ，当 $\text{[math]}$ 时，结合函数的图象，求出n的值．

如图，点E在 AC 的延长线上， ∠BAC 与 ∠DCE 的平分线交于点 F，∠B=58°， ∠F=56°，则∠BDC= ．

学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象信息，当t＝分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；
（2）图中点A的坐标为；
（3）求线段AB所直线的函数表达式；
（4）在整个过程中，何时两人相距400米？

如图，已知 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

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A . 30° B . 35° C . 40° D . 45°

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、点E分别在线段BC和线段AB上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

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（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ．
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
（3）在（2）问的条件下，如图3，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ,求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点D在AB上， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 同时从点D出发，分别沿 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，以EF为边作正方形EFGH使它与 $\text{[math]}$ 在线段AB的同铡．设 $\text{[math]}$ 运动的时间为1秒，正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分面积为S．

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（1）当 $\text{[math]}$ 时，求正方形EFGH的顶点刚好落在线段AC上时t的值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时 $\text{[math]}$ 的值．

“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 $\text{[math]}$ ，就可以利用该思维方式，设 $\text{[math]}$ ，将原方程转化为： $\text{[math]}$ 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋3经过A （1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

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（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小?若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．

如果∠AOB=34°,∠BOC=18°,那么∠AOC的度数是.

如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．

（1）写出数轴上点A、C表示的数；
（2）点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN= $\text{[math]}$ CQ．设运动的时间为t（t>0）秒．
①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；

②t为何值时，M、N两点到原点的距离相等?

如图是一次函数 $\text{[math]}$ 的图象，根据图象可直接写出方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，这种解题方法体现的数学思想是（）

A . 数形结合思想 B . 转化思想 C . 分类讨论思想 D . 函数思想

在解这一问题“若代数式 $\text{[math]}$ 的值是8，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为多少？”的时候，我们可以算出 $\text{[math]}$ ，然后再将 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ ，然后将“ $\text{[math]}$ ”代入即可求出 $\text{[math]}$ 的值为-7，这个解题过程体现的数学思想是（）

A . 数形结合思想 B . 整体思想 C . 转化思想 D . 分类讨论思想

我们在解二元一次方程组 $\text{[math]}$ 时，可将第二个方程代入第一个方程消去x得﹣2y+y＝6，从而求解，这种解法体现的数学思想是（）

A . 转化思想 B . 分类讨论思想 C . 数形结合思想 D . 函数思想

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