一元一次方程的实际应用-几何问题 知识点题库
某长方形纸片的长是15㎝，长，宽上各剪去两个宽为3㎝的长条，剩下的面积是原长方形面积的
。求原长方形纸片的面积。
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（1） A，B对应的数分别为、；
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（2） 点A，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距1个单位长度？
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（3） 点A，B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得4AP+3OB﹣mOP为定值，若存在请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
问题探究：
我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．
探究一
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n的矩形框架（m、n是正整数），需要木棒的条数．
如图①，当m=1，n=1时，横放木棒为1×（1+1）条，纵放木棒为（1+1）×1条，共需4条；
如图②，当m=2，n=1时，横放木棒为2×（1+1）条，纵放木棒为（2+1）×1条，共需7条；
如图③，当m=2，n=2时，横放木棒为2×（2+1））条，纵放木棒为（2+1）×2条，共需12条；如图④，当m=3，n=1时，横放木棒为3×（1+1）条，纵放木棒为（3+1）×1条，共需10条；
如图⑤，当m=3，n=2时，横放木棒为3×（2+1）条，纵放木棒为（3+1）×2条，共需17条．
问题（一）：当m=4，n=2时，共需木棒条．
问题（二）：当矩形框架横长是m，纵长是n时，横放的木棒为条，
纵放的木棒为条．
探究二
用若干木棒来搭建横长是m，纵长是n，高是s的长方体框架（m、n、s是正整数），需要木棒的条数．
如图⑥，当m=3，n=2，s=1时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×1=12条，共需46条；
如图⑦，当m=3，n=2，s=2时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×2=24条，共需75条；
如图⑧，当m=3，n=2，s=3时，横放与纵放木棒之和为[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68条，竖放木棒为（3+1）×（2+1）×3=36条，共需104条．
问题（三）：当长方体框架的横长是m，纵长是n，高是s时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条．
实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是．
拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒条．
）
定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n.理解：如点C是AB的中点时，即AC＝ 
AB，则dC﹣AB＝ ；反过来，当dC﹣AB＝ 时，则有AC＝ AB.因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义.
应用：
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（1） 如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝
，则AC＝AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝；
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（2） 已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts.
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB ， 并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝
？拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B.且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB.
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（1） 用含a的式子表示点D坐标：D（，）；
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（2） 点P由D出发沿线段DC向终点C匀速运动，点P的横、纵坐标每秒都减少a个单位长度，作PM垂直x轴于点M，作BE垂直x轴于点E，点N从点E出发沿x轴负方向运动，速度为每秒a个单位长度，P、N两点同时出发，同时停止运动．当O为MN中点时，PM＝1，求B点坐标；
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（3） 在（2）的条件下，连接PN、DN，在整个运动过程中，当OM＝
ON时，求 
的面积．
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（1） 如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=；
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（2） 如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x ，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．
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（3） 如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON，能否求出∠MON的度数．若能，求∠MON的度数．
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（4） 从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？
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（1） 求∠COD的度数；
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（2） 若以O为观测中心，OA为正东方向，则射线OD的方位角是；
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（3） 若∠AOC、射线OE分别以每秒5°、每秒3°的速度同时绕点O逆时针方向旋转，其他条件不变，当OA回到原处时，全部停止运动，则经过多长时间，∠BOE=28°？
如图①，已知 
，在 内部画射线 
，得到三个角，分别为 
、 
、 .若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线 为 的“幸运线”.（本题中所研究的角都是大于 
而小于 
的角.）
-
（1） （阅读理解）
角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
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（2） （初步应用）
如图①，
，射线 为 的“幸运线”，则 的度数为； -
（3） （解决问题）
如图②，已知
，射线 
从 
出发，以每秒 
的速度绕 
点逆时针旋转，同时，射线 
从 
出发，以每秒 
的速度绕 点逆时针旋转，设运动的时间为 
秒（ 
）.若 、 、 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的 值.
， 
， 
为数轴上三点，若点 到点 的距离是点 到点 的距离的 
倍，即 
，我们就称点 是 
的三倍点． 
-
（1） 如图，若点 表示的数为
，点 表示的数为 ，点 表示的数为 
，可得 
， 
，即 ，则点 是 的三倍点 ①若点
表示的数为 
，请说明点 是 的三倍点；②若点
表示的数为 
，则点 是［ ▲ ］的三倍点（数轴上不再添加其它点）； -
（2） 点
， 
为数轴上两点，点 所表示的数为 
，点 所表示的数为 
，若点 
是 
的三倍点，设点 表示的数为 
，请直接写出 的值，并在数轴上表示出来．
的正方形纸片，剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ） 
B . 
C . 
D . 
如图1所示，线段
的长度可表示为：
， 于是他归纳出这样的结论：如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，当
时，
（较大数一较小数）.
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（1） 尝试应用：
①如图2所示，计算：
，
；
②把一条数轴在数m对应的点处对折，使表示-20和2020两数的点恰好互相重合，求数m的值；
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（2） 问题解决：
①如图3所示，点P表示数x，点M表示数
， 点N表示数
， 且
， 求出点P和点N分别表示的数；
②在上述①的条件下，是否存在点Q，使
？若存在，请直接写出点Q所表示的数；若不存在，请说明理由.
和1个正方形组成的图形，其中长方形的长是宽的2倍，则正方形的周长为．
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（1） 若一个数x的立方等于﹣8，请求出x的值．
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（2） 请利用整体思想和方程思想进行解题．
①若（1）中的x的值也是关于x的一元一次方程
x﹣3＝5x﹣p的解，那么关于y的一元一次方程 （y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解为y＝ ▲ ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则（a﹣b）+（d﹣c）的值为多少？
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（3） 在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后OQ＝2OP？
），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为
