平行线的判定与性质 知识点题库
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（1） 如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=，∠3=；
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（2） 在（1）中，若∠1=40°，则∠3=，若∠1=55°，则∠3=；
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（3） 由（1）（2）请你猜想：当∠3=时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由．
已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由
答：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（）
∴∠4=∠5=90°（）
∴AD∥EG（）
∴∠1=∠E（）
∠2=∠3（）
∵∠E=∠3（）
∴（ 等量代换）
∴AD是∠BAC的平分线（）
如图，已知 
， 
，求证： 
.
证明： 
（已知）
()
()
又 
（已知）
（等量代换）
()
（）
中， 
是 
上一点， 
是 
上一点， 
， 
， 
. 
-
（1） 请你证明
；
-
（2） 求
的度数.
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
求证：DG∥BA．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFB=∠ADB=90°（ ▲ ）
∴EF∥AD（ ▲ ）
∴∠1=∠BAD（ ▲ ）
又∵∠1=∠2（已知）
∴ ▲ （等量代换）
∴DG∥BA．（ ▲ ）
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
求证：DG∥BA．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠EFB=∠ADB=90°（ ）
∴EF∥AD（ ）
∴∠1=∠BAD（ ）
又∵∠1=∠2（已知）
∴ ( )（等量代换）
∴DG∥BA．（ ）
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（1） 已知：如图1，AB∥CD，P为AB，CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD，
∴∠B+∠1＝180°，．
∴∠C+∠2＝180°
∵∠BPC＝∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°
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（2） 我们生活中经常接触小刀，如图2小刀刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变，如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
是四边形 
的对角线.若 
， 
，则 
等于（ ） 
B . 
C . 
D . 
已知：如图， 
， 
，垂足为 
， ，试说明： 
.
解：因为 （已知），
所以 
（ ）.
因为 （已知），
所以 
（等量代换），
所以 
（ ），
所以 
（ ）.
因为 
（已知），
所以 
（垂直的定义），
所以 
（ ），
所以 （垂直的定义）.
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（1） 如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF＝85°，则∠A的度数为°．
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（2） 如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A，证明：DE∥BA．
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（3） 如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．
为中心点的量角器与直角三角板 如图所示摆放，直角顶点 
在零刻度线所在直线 
上，且量角器与三角板只有一个公共点 
，若点 的读数为135°，则 
的度数是． 
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB 
CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
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（1） 小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EF
AB，则有∠BEF＝ ▲ ．
∵AB
CD，∴ ▲
▲ ，∴∠FED＝ ▲ ．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
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（2） 请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a
b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，∠A＝∠FDE．求证：FD∥AC．
证明：∵DE∥BA（已知）
∴ ∠BFD＝ ▲ （ ▲ ）
又 ∵ ∠A＝∠FDE
∴ ▲ ＝ ▲ （等量代换）
∴FD∥CA（ ▲ ）
模仿上面的证明过程，用另一种方法证明FD∥AC．
， 点B为平面内一点，
于B．
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（1） 如图1，
；
-
（2） 如图2，过点B作
于点D，猜测
与
的大小关系，并说明理由；
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（3） 如图3，在（2）的条件下，点E､F在
上，连接
､
､
， 平分 ， 若
， 
， 求
的度数．
已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC上的点，AB∥EF，∠DEF＝∠B．
求证：∠AED＝∠C．
证明：∵AB∥EF，
∴ ▲ ＝∠EFC（ ▲ ．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠DEF＝∠EFC（ ▲ ）．
∴ ▲ （ ▲ ）．
∴∠AED＝∠C．
如图1，
//
， 点在直线、之间．求证：
．
小贤的解法如下：
解：如图1，过点作EF∥AB．
因为
， 所以
．
因为
， 所以
．
因为 ， 所以
（根据1），
所以
，
即 ．
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（1） 材料中的根据1是指．
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（2） 若把图1变为图2，其中 ，
， 
， 
， 求
的度数．
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（3） 如图3， ，
是
内部一点，且
， 延长
与
交于点
， 
， 且
． 已知
， 则
的度数为（用含
的式子表示）．
