2020届湖南省衡阳市高三后半期第一次模拟理科数学

1. 选择题	详细信息
已知集合，，则（） A. B. C. D.

2. 选择题	详细信息
复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则的实部与虚部的和是（） A. B.0 C. D.

3. 选择题	详细信息
若“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（） A. B. C. D.

4. 选择题	详细信息
已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（） A. B. C. D.

5. 选择题	详细信息
已知向量，满足：，，，则在方向上的投影为（） A. B. C. D.1

6. 选择题

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我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）
A.

7. 选择题	详细信息
二项式（）展开式的第二项的系数为，则的值为（） A. B. C. D.

8. 选择题	详细信息
太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示，设点，则的取值范围是（） A. B. C. D.

9. 选择题

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衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的

.下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：

，

）
A.

10. 选择题	详细信息
已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（） A. B. C. D.

11. 选择题	详细信息
已知A是函数的最大值，若存在实数，使得对任意实数x，总有成立，则的最小值为（） A. B. C. D.

12. 选择题	详细信息
如图，矩形中，，N为边的中点，将沿翻折成（平面），M为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题：①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长为；③异面直线与所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球表面积是.正确的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13. 填空题	详细信息
若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为______.

14. 填空题	详细信息
在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C.的面积S满足，若，则______.

15. 填空题	详细信息
已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点，满足（其中O为坐标原点），则______.

16. 填空题	详细信息
已知m为整数，若对任意，不等式恒成立，则m的最大值为______.

17. 解答题	详细信息
已知为等差数列，前n项和为，，. （1）求数列的通项公式；（2）记数列前n项和为，证明：.

18. 解答题	详细信息
如图，在多面体中，，，平面平面，，，. （1）若点F为的中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的角（锐角）的余弦值.

19. 解答题	详细信息
已知椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与C交于M，N两点，的周长为. （1）求椭圆C的标准方程；（2）过M作与y轴垂直的直线l，点，试问直线与直线l交点的横坐标是否为定值？请说明理由.

20. 解答题	详细信息
若方程有实数根，则称为函数的一个不动点.已知函数（）. （1）若，求证：有唯一不动点；（2）若有两个不动点，求实数a的取值范围.

21. 解答题

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“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）

收人

个税起征点

专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：

	旧个税税率表（个税起征点3500元）		新个税税率表（个税起征点5000元）
缴税基数	每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点	税率（%）	每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除	税率（%）
1	不超过1500元的部分	3	不超过3000元的部分	3
2	超过1500元至4500元的部分	10	超过3000元至12000元的部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	超过12000元至25000元的部分	20
4	超过9000元至35000元的部分	25	超过25000元至35000元的部分	25
5	超过35000元至55000元的部分	30	超过35000元至55000元的部分	30
…	…	…	…	…

随机抽取某市2020名同一收入层级的从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税；
（2）设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；
（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？