江苏省2021届高三下学期一模模拟练习一数学试题含解析

设集合 ， ，则集合 （ ）

A ． B ． C ． D ． î

复数 满足： ，则 的虚部等于（ ）

A ． B ． C ． 0 D ． 1

设随机变量 ，函数 没有零点的概率是 ，则 （ ）

附：若 ，则 ， ．

A ． B ． C ． D ．

我国著名数学家华罗庚曾说： “ 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 .” 在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征 . 我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

2020 年 11 月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了 “ 云采访 ” 区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业 CEO 或海外负责人．某新闻机构安排 4 名记者和 3 名摄影师对本次进博会进行采访，其中 2 名记者和 1 名摄影师负责 “ 云采访 ” 区域的采访，另 2 名记者和 2 名摄影师分两组（每组记者和摄影师各 1 人），分别负责 “ 汽车展区 ” 和 “ 技术装备展区 ” 的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（    ）

A ． 36 种 B ． 48 种 C ． 72 种 D ． 144 种

若函数 满足：对定义域内任意的 ，有 ，则称函数 具有 性质．则下列函数中不具有 性质的是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线 的左支交于 ， 两点，连接 ， ，在 中， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）

A ． 3 B ． C ． D ． 2

已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）

A ． B ． C ． D ．

设 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， a ＋ 2 b ＝ 1 ，则（    ）

A ． ab 的最大值为 B ． a ² ＋ 4 b ² 的最小值为

C ． 的最小值为 8 D ． 2 ^a ＋ 4 ^b 的最小值为

设首项为 的数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）

A ．数列 为等比数列 B ．数列 为等比数列

C ．数列 为等比数列 D ．数列 的前 项和为

已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ，且 ， . 下列结论正确的是（    ）

A ． B ． C ． D ． △ 的面积为

已知函数 ， ，则（ ）

A ． 在 上单调递增

B ． 是周期函数，且周期为

C ．直线 是 的对称轴

D ．函数 在 上有且仅有一个零点

如图所示，在平面直角坐标系中， ， ，圆 过坐标原点 ，圆 与圆 外切 . 则（ 1 ）圆 的半径等于 __________ ；（ 2 ）已知过点 和抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ， ，且 ，则 ______ ．

定义在实数集 上的可导函数 满足： ， ，其中 是 的导数，写出满足上述条件的一个函数 ________ ．

已知菱形 ABCD 的边长为 ， ，点 分别在边 BC ， CD 上，且满足 ， ，则 ____________.

A ， B ， C ， D 为球面上四点， M ， N 分别是 AB ， CD 的中点，以 MN 为直径的球称为 AB ， CD 的 “ 伴随球 ” ，若三棱锥 A — BCD 的四个顶点在表面积为 64 π 的球面上，它的两条边 AB ， CD 的长度分别为 和 ，则 AB ， CD 的伴随球的体积的取值范围是 ___________

在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．

（ Ⅰ ）求 的值；

（ Ⅱ ）在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若 ， _______ ，求 的周长．

已知数列 的前 项和 .

（ 1 ）求数列 的通项公式；

（ 2 ）在 ① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题 . 若 ______ ，求数列 的前 项和 .

如图，在四棱锥 中，侧面 为钝角三角形且垂直于底面 ，底面为直角梯形且 ， ， ，点 是 的中点 .

（ 1 ）求证： 平面 ；

（ 2 ）若直线 与底面 所成的角为 ，求 与平面 所成角的正弦值 .

魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺 · 鲁比克教授于 1974 年发明的 . 魔方与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹 . 通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为 的正方体结构，由 个色块组成 . 常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原 . 截至 2020 年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在 2018 年 11 月 24 日于芜湖赛打破的纪录，单次 秒 .

（ 1 ）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度 ( 秒 ) 与训练天数 ( 天 ) 有关，经统计得到如下数据：

现用 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度 约为多少秒 ( 精确到 ) ？参考数据 ( 其中 )

（ 2 ）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面 . 某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动 ，记顶面白色色块的个数为 ，求 的分布列及数学期望 .

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，右顶点为 .

（ 1 ）求椭圆 的标准方程；

（ 2 ）过点 作两条直线分别交椭圆于点 ， 满足直线 ， 的斜率之和为 ，求点 到直线 距离的最大值 .

已知函数 .

（ 1 ）当函数 在 处的切线斜率为 时，求 的单调减区间；

（ 2 ）当 时， ，求 的取值范围 .