题目

如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py (p>0)上. (1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. 答案： (1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°. 设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4, y=|OB|cos 30°=12. 因为点B(4,12)在x2=2py上, 所以(4)2=2p×12,解得p=2. 故抛物线E的方程为x2=4y. (2)证明:由(1)知y=x2,y′=x. 设P(x0,y0),则x0≠0,y0=,且l的方程为 y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-. 由得 所以Q为. 设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立. 由于=(x0,y0-y1), =, 由·=0, 得-y0-y0y1+计算：89°43′-57°21′=________．