28.2 解直角三角形及其应用知识点题库

某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥．如图，是这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯AB、CD和一段平行于地面的平台CB构成．已知∠A=37°，天桥高度DH为5.1米，引桥水平跨度AH为8.3米．

（1）
求水平平台BC的长度；
（2）若两段楼梯AB：CD=10：7，求楼梯AB的水平宽度AE的长．
（参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ，cos37°≈ $\text{[math]}$ ，tan37°≈ $\text{[math]}$ ）

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，若tan∠ABO= $\text{[math]}$ ，OB=4，OE=2，点D的坐标为（6，m）．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．

阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

（1）阅读填空
sin30°= $\text{[math]}$ ，cos30°= $\text{[math]}$ ，则sin²30°+cos²30°= ；①
sin45°= $\text{[math]}$ ，cos45°= $\text{[math]}$ ，则sin²45°+cos²45°= ；②
sin60°= $\text{[math]}$ ，cos60°= $\text{[math]}$ ，则sin²60°+cos²60°= ．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A= ．④
（2）
如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（3）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA= $\text{[math]}$ ，求cosA．

如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=．

如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）

A . 100米 B . 50 $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . 50米

如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．

（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．

在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．

如图，取一根9.5m长的标杆AB，在其上系一活动旗帜C，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D处．若测得旗高BC＝4.5m，影长BD＝9m，影长DE＝5m，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD，DE均与坝底线DM垂直)．

如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则 $\text{[math]}$ ＝．

图2、图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。已知AB=50cm,CD=40cm．

（1）如图3，当∠ABE=30°时，BC= cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为cm² ．

某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ，tan37°≈ $\text{[math]}$ ）

在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：

（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的距离为9米；
（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出 $\text{[math]}$ 的长.

（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）

“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以 $\text{[math]}$ 的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为 $\text{[math]}$ ，继续飞行 $\text{[math]}$ 到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为 $\text{[math]}$ ，已知“南天一柱”的高为 $\text{[math]}$ ，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

如图所示， $\text{[math]}$ 的顶点在正方形网格的格点上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h.如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°.(sin28°≈ $\text{[math]}$ ，cos28°≈ $\text{[math]}$ ，tan28°≈ $\text{[math]}$ )

（1）求CD，BD的长度.
（2）通过计算，判断此轿车是否超速.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A，P分别在x轴、y轴上，点B的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，将线段 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，则点C的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

某市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处测得在 $\text{[math]}$ 处的龙舟俯角为 $\text{[math]}$ ，他登高 $\text{[math]}$ 到正上方的 $\text{[math]}$ 处测得驶至 $\text{[math]}$ 处的龙舟俯角为 $\text{[math]}$ ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果保留根号）

图片_x0020_754418472

点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”.如图1-①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E、F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”.

（1）如图1-②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为m.
（2）矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四壁都是垂直于地面的平面.在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE、PF与被投射面相交于点E、F，PF在PE关于点P的逆时针方向上.
①如图1-③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；

②如图1-④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由.

如图，为了测量小河对岸一座小山 $\text{[math]}$ 的高度，某测绘小组先在斜坡上的 $\text{[math]}$ 处，测得小山顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为30°，且 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ ，斜坡 $\text{[math]}$ 的坡度 $\text{[math]}$ ，然后在 $\text{[math]}$ 处测得小山顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为60°，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平线上，求小山 $\text{[math]}$ 的高．（结果保留根号）

如图1，探照灯、汽车前灯的反光曲面都是“抛物镜面”，它是由过等腰直角三角形（ $\text{[math]}$ ）顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的，我们将抛物线和线段 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形称之为“碗形”，记作“碗形 $\text{[math]}$ ”，其中抛物线部分叫“标准线”，记作“标准线 $\text{[math]}$ ”，抛物线的顶点C称为“碗顶”，直角三角形的斜边 $\text{[math]}$ 的长度称为“碗宽”，碗顶C到 $\text{[math]}$ 的距离称为“碗高”.

（1）若碗形 $\text{[math]}$ 的碗宽是 $\text{[math]}$ ，则碗高是 $\text{[math]}$ （直接写出结果）.
（2）如图2，碗形 $\text{[math]}$ 的碗宽为4，点A与坐标原点重合，点B在x轴的正半轴上，点C在x轴下方，求标准线 $\text{[math]}$ 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（3）将（2）中的碗形 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到碗形 $\text{[math]}$ ，旋转角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
①标准线 $\text{[math]}$ 、标准线 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 围成的封闭图形的面积为（直接写出结果）.

②过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，交 $\text{[math]}$ 于点F.试求 $\text{[math]}$ 的值.

28.2 解直角三角形及其应用 知识点题库

28.2 解直角三角形及其应用知识点题库