等腰直角三角形知识点题库

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：

① $\text{[math]}$ ；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF= $\text{[math]}$ AB；⑤S_△_ABC=5S_△_BDF ，

其中正确结论的序号是．

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE=1，则CF=．

如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A₁BO，再以OA₁为直角边作等腰直角三角形A₂A₁O，如此下去，则线段OA_n的长度为．

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD.

（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF.

综合与实践

数学活动课上，小红画了如图1所示的两个共用直角顶点的等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 与等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

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（1）操作发现：
小红发现了： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有一定的关系，数量关系为；位置关系为.
（2）类比思考：
如图2，在图1的基础上，将等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定的角度，其它条件都不变，小红发现的结论还成立吗？请说明理由.（提示：连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长交于一点 $\text{[math]}$ ）

深入探究：

在上述类比思考的基础上，小红做了进一步的探究.如图3，作任意一个三角形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，在三角形外侧以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，分别取斜边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断三角形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.

如图，在正方形ABCD中，点P是边AB上一点，AB=5BP，点E在对角线AC上，△PEF是直角三角形，PE=PF，AE=2，△APF的面积为12，则BF的长是.

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如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，∠CDB＝22.5°，则AB＝.

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如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM.

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（1）求证：BE=AD；并用含α的式子表示∠AMB的度数；
（2）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE.

（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若BD=3，CF=4，求AD的长.

E、F是线段AB上的两点，且AB＝16，AE＝1，BF＝3，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连结PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为.

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情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示.

（1）观察图2可知：与BC相等的线段是，∠CAC′=°.
（2）问题探究：
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）如图4，

△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

如图，等腰直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P在AC上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

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（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由.

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.

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（1）求证∠BCE=∠CAD；
（2）若AD=12 cm，DE=7 cm，求BE.

如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接DC，以DC为边作等边 $\text{[math]}$ ，B，E在CD的同侧，若AB＝4 $\text{[math]}$ ，BE的长为．

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已知抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标.

如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）.

（1）直接写出△ABC的面积为；
（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为；
（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）.
①作出△ABC的高线AF

②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°.

如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列），当点A与原点O重合时，得到等腰直角△OBC（此时点P与点C重合）．

（1） BC＝；当OA＝2时，点P的坐标是；
（2）设动点A的坐标为（t ， 0）（t≥0）．
①点A在移动过程中，△ABP的顶点P在射线OC上吗？请说明理由；

②用含t的代数式表示点P的坐标为：（▲ ， ▲ ）；
（3）分别过点P、A做x轴、y轴的平行线，两条平行线交于点Q ，是否存在这样的Q ，使得△AQB是等腰三角形？若存在，请直接写出Q的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，四边形ABCD内接于 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 交BC的延长线于E，若 $\text{[math]}$ 的半径是2，且 $\text{[math]}$ ，则劣弧BD的弧长是．

如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点（不与端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
（2） ①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 改变 $\text{[math]}$ 的度数， $\text{[math]}$ 的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，若不改变，请说明理由；
（3）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长．

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